Взаимодействие электронов с кристаллической решеткой столь сложно, что непосредственный учет этого взаимодействия представляет серьезные трудности. Однако, их можно обойти, если ввести так называемую эффективную массу электрона m* .

Приписывая электрону, находящемуся в кристалле массу m* , можно считать его свободным. В этом случае можно описывать его движение в кристалле аналогично движению свободного электрона. Разница между m* и m обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем кристаллической решетки. Приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие.

Проведем графо-аналитический анализ поведения электрона в пределах нечетной разрешенной энергетической зоны для одномерного кристалла.

На рис. приведена дисперсионная зависимость (Е=f(k) ) для электрона. В рассматриваемом случае она может быть представлена функцией, подобной . На рис. показана зависимость скорости электрона от волнового числа (v~dE/dk ). Ее график легко построить, если вспомнить геометрический смысл первой производной. В точках -p /а , 0, p /а скорость v = 0. В точках - p /2а и p /2а скорость максимальна и в первом случае v <0 во втором v >0. Получаем график v~dE / dk , подобный отрезку синусоиды. График на рис w ~ d 2 E / dk 2 строится аналогично, поскольку представляет собой первую производную от графика на рис.

Теперь график на рис., который отображает эффективную массу электрона:

При k = 0 величина d 2 E / dk 2 максимальна и положительна, поэтому эффективная масса m* минимальна и >0. При увеличении абсолютного значения k эффективная масса возрастает, оставаясь положительной. При приближении k к точкам -p /2а и p /2а величинаd 2 E/dk 2 положительна и уменьшается до нуля. Поэтому эффективная масса m* стремится к +¥ и в точках -p /2а и p /2а претерпевает разрыв.

В точках -p /а и p /а величина d 2 E / dk 2 по абсолютной величине максимальна и отрицательна. Поэтому на краях зоны Бриллюэна, на потолке энергетической зоны в рассматриваемом случае, эффективная масса электрона m* минимальна и отрицательна. По мере уменьшения абсолютного значения k величина m* возрастает по модулю, оставаясь отрицательной. При приближении k к точкам -p /2а и p /2а функция m* = f(k ) стремится к -¥, то есть претерпевает разрыв.

Полученный график говорит о том, что у дна энергетической зоны эффективная масса электрона m* минимальна и положительна. Такие электроны, при соответствующих условиях, реагируют на внешнее электрическое поле и ускоряются в направлении противоположном вектору напряженности поля (рис.3.10). По мере увеличения энергии электрона, смещении его к середине разрешенной энергетической зоны, величина m* возрастает и его рeакция на электрическое поле ослабевает. Если электрон находится по середине энергетической зоны, его эффективная масса стремится к бесконечности, такой электрон не будет реагировать на внешнее электрическое поле.

Рассмотрим движение электрона под действием внешнего электрического поля. Предположим сначала, что мы имеем дело со свободным электроном, помещенным в однородное электрическое поле . Со стороны поля на электрон действует сила
. Под действием этой силы он приобретает ускорение

Здесь m – масса электрона. Вектор ускорения направлен против поля .

Теперь получим уравнение движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла. Внешнее поле действует на электрон в кристалле также, как на свободный электрон, с силой
, направленной против поля. В случае свободного электрона силабыла единственной силой, определяющей характер движения частицы. На электрон же, находящийся в кристалле, кроме силы
действуют значительные внутренние силы, создаваемые периодическим полем решетки. Поэтому движение этого электрона является более сложным, чем движение свободного электрона.

Движение электрона в кристалле можно описать с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций. Средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета:
. Учитывая, что
для групповой скорости получаем

(1.1.19)

где
- квазиимпульс. Видим, что средняя скорость электрона в твердом теле определяется законом дисперсииE (). Продифференцируем (1.1.19) по времени:

(1.1.20)

За время электрическое полесовершит работу
, которая идет на приращение энергии электрона:
. Учитывая, что
получаем
, или

(1.1. 21)

Последнее выражение представляет собой уравнение движения электрона в кристалле. В этом случае произведение (dk/dt ) равно силе , действующей на электрон со стороны внешнего электрического поля. Для свободного электрона внешняя сила равна произведению
. Toт факт, что для электрона в кристалле уравнение движения не имеет привычной формы второго закона Ньютона, не означает, что закон Ньютона здесь не выполняется. Все дело в том, что уравнение движения мы записали только с учетом внешних сил, действующих на электрон, и не учли силы, действующие со стороны периодического поля кристалла. Поэтому уравнение движения не имеет обычного вида
.

Подставим теперь dk/dt , найденное из (1.1.21), в выражение для ускорения (4.20):

(1.1.22)

Уравнение (1.1.22) связывает ускорение электронас внешней си­лой - е. Если предположить, что величина 2 (d 2 E / dk 2 ) имеет смысл массы, то (1.1.22) приобретает вид второго закона Ньютона:
где
-эффективная масса электрона. Она отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Электрон в периодическом поле кристаллической решетки движется под действием внешней силы в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой m *. Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы m приписать эффективную массу m *, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать так, как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнем поле. Разница между m * и m обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие.

Пользуясь понятием эффективной массы, задачу о движении электрона в периодическом поле решетки
можно свести к задаче о движении свободного электрона с массой m *. Это значит, что вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом

нужно решать уравнение
. Если, например, энергия является квадратичной функцией от , то её можно записать так

(1.1.23)

(как для свободного электрона).

Легко видеть, что для свободного электрона эффективная масса равна его обычной массе. В этом случае связь между Е и

,

откуда получаем
.

В общем случае эффективная масса является анизотропной величиной и для разных направлений волнового вектора различна. Она представляет собой тензор второго ранга

.

Эффективная масса в отличие от обычной массы не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решеткой. Эффективная масса может быть как больше, так и меньше обычной массы электрона. Более того, m * может быть и отрицательной величиной. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример.

Пусть зависимость E () в одной из зон имеет вид, показанный на рис.1.1.9,а). Минимум энергии соответствует центру зоны Бриллюэна (k =0), а максимумы - ее границам (k =±
/а ). Часто зоны с такой зависимостью Е () называют стандартными . Эффективная масса определяется кривизной кривой Е (). Вблизи значений k , соответствующих экстремумам функции E (), закон дисперсии можно представить параболической зависимостью, аналогичной зависимости Е () для свободного электрона. Покажем это. Если экстремум достигается в точке
, то разложивE (k ) в ряд по степеням
), получим

Учитывая, что в точке экстремума =0 и опуская ввиду малости члены с множителем
, гдеп> 2, получаем

Если отсчет энергии вести от экстремального значения, то для центра зоны Бриллюэна (=0) получаем соотношение (1.1.23), которое совпадает с законом дисперсии для свободного электрона с той лишь разницей, что m заменено на m *. Дифференцируя E (k ) по k , находим зависимости,

и

изображенные на рис.1.1.9,6, в).

Видно, что эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны, положительна и близка к массе свободного электрона. В середине зоны, там, где наблюдается перегиб кривой E (k ), эффективная масса становится неопределенной. У потолка зоны электроны обладают отрицательной эффективной массой.

Отрицательная эффективная масса означает, что ускорение электрона направлено против действия внешней силы. Это видно из рис.1.1. 9,б). При k , близких к границе зоны Бриллюэна, несмотря на увеличение k , скорость электрона уменьшается. Данный результат является следствием брэгговского отражения. В точке k =
электрон описывается уже не бегущей, а стоячей волной и
.

Поскольку свойства электронов с отрицательной эффективной массой очень сильно отличаются от свойств «нормальных» электронов, их удобнее описывать, пользуясь представлением о некоторых квазичастицах, имеющих заряд +е , но положительную эффективную массу. Такая квазичастица получила название дырки. Предположим, что в зоне все состояния, кроме одного, заняты электронами. Вакантное состояние вблизи потолка зоны и называют дыркой. Если внешнее поле равно нулю, дырка занимает самое верхнее состояние. Под действием поля на это вакантное состояние перейдет электрон с более низкого энергетического уровня. Дырка при этом опустится. Далее дырочное состояние займет следующий электрон и т. д. При этом дырка сместится вниз по шкале энергий. Таким образом, ток в кристаллах может переноситься не только электронами в зоне проводимости, но и дырками в валентной зоне. Дырочная проводимость наиболее характерна для полупроводников. Однако есть и некоторые металлы, которые обладают дырочной проводимостью.

Возвращаясь к рис.1.1.9,в отметим, что описывать движение электронов в кристалле, пользуясь понятием эффективной массы, можно только тогда, когда они находятся либо у дна, либо у потолка энергетической зоны. В центре зоны m * теряет смысл. На практике почти всегда приходится иметь дело с электронами, располагающимися или у дна, или у потолка зоны. Поэтому использование эффективной массы в этих случаях вполне оправдано.

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом р. При этом связь между энергией и импульсом дается классической формулой

С другой стороны, согласно де Бройлю свободному электрону массы m 0 , движущемуся со скоростью, соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения

где h -- постоянная Планка. Так как волновое число k -- число волн, укладывающихся на длине 2р см, равно:

то импульс свободного электрона

а его энергия

где h=h/2р - квант действия.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину p = hk, называемую квазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k квазиимпульс р также квантован. Согласно неравенствам (25) в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах

Как следует из (25) , в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент квазиимпульса

где i = х, у, z, а j = 1, 2, 3. Для кристалла с простой кубической решеткой согласно соотношениям (25) и (31) достаточно рассматривать изменение компонент k i и p i в пределах

Этим значениям квазиимпульса в системе координат (р х, р у, р z) будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные различные состояния. Эта область называется первой, или основной, зоной Бриллюэна. Для кристалла с простой кубической решеткой первая зона Бриллюэна представляет собой куб объемом

В k-пространстве первая зона Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой также является кубом, объем которого

Первую зону Бриллюэна можно разбить на элементарные кубические ячейки объемом

где V = L 3 = a 3 N x N y N z = а 3 N -- объем кристалла, а N= N x N y N z - полное число элементарных ячеек в кристалле.

Поскольку объем первой зоны Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой равен (h/а) 3 , а объем элементарной ячейки h 3 /a 3 N, то число элементарных ячеек в ней составляет N, т. е. равно количеству энергетических состояний в зоне. Но в энергетической зоне может располагаться 2N электронов, следовательно, и в первой зоне Бриллюэна может быть 2N электронов, а в ее каждой ячейке может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами.

Вторая и последующие зоны Бриллюэна, соответствующие второй и последующим энергетическим зонам, имеют более сложную конфигурацию, но их объем остается постоянным. Они также содержат N элементарных ячеек, каждой из которых можно сопоставить ячейку в первой зоне, изображающую эквивалентное состояние.

Заполнение электронами квантовых состояний валентной зоны различно для металлов и полупроводников. В металлах зона заполнена электронами либо частично, либо в валентной зоне все возможные электронные состояния заняты, но эта зона перекрывается со свободной, не занятой электронами. Наличие свободных незанятых состояний в зоне дает возможность электронам двигаться в ней под действием внешнего поля и переносить электрический заряд. Таким образом, для того чтобы в твердом теле протекал электрический ток, в валентной зоне должны быть свободные состояния. В полупроводниках число возможных состояний в валентной зоне равно количеству валентных электронов атомов, образовавших кристалл. В этом случае при температуре 0 К все электронные состояния в зоне заняты, на каждом уровне зоны располагается по два электрода с противоположно направленными спинами. Поэтому внешнее электрическое поле не может создать направленного движения такой совокупности электронов, ибо в заполненной зоне электроны могут только взаимно обмениваться местами. Следовательно, такой кристалл не может проводить ток, он является диэлектриком.

Проанализируем энергетический спектр кристаллов, образованных из элементов IV группы таблицы Менделеева, обладающих кристаллической решеткой типа алмаза. В нее входят углерод (алмаз), кремний, германий и серое олово. Электронная структура этих атомов такова (см. рис. 1), что в твердом состоянии у них в образовании ковалентной связи принимают участие четыре электрона каждого атома. При этом, как следует из рис. 4, зоны, образованные из ns- и nр- состояний, перекрываются, образуя общую зону с числом состояний 8N. С уменьшением межатомного расстояния эта зона затем расщепляется на две зоны с 4N квантовыми состояниями в каждой. Нижняя зона содержит 4N заполненных электронами состояний -- это валентная зона, а у верхней зоны 4N электронных состояния свободны - это зона проводимости.

Найдем закон изменения квазиимпульса и волнового вектора от времени, то есть закон, который описывает движение электрона в кристалле при наличии внешнего электрического поля.

Как известно из квантовой механики, движение свободного электрона с волновым вектором k можно описать с помощью волнового пакета, представляющего собой суперпозицию плоских волн с непрерывно меняющимися значениями k в пределах 2Дk (от k-- Дk до k +Дk). Движение волнового пакета характеризуется групповой скоростью, которая равна скорости перемещения какой-либо точки пакета, например его максимума. Координату этого максимума можно найти из условия Отсюда следует, что

т. е. средняя скорость движения свободного электрона х равна групповой скорости волнового пакета:

Если воспользоваться соотношением для энергии Е = hщ, то средняя скорость свободного электрона будет определяться выражением вида

где р = hk - импульс.

Движение электрона в кристалле описывается волновой функцией (16), которая определяется набором атомных волновых функций с разным значением k. Поскольку, где n = 0, 1, . . . , (N--l), а и, то волновую функцию Ш можно рассматривать как совокупность плоских волн, для которых k меняется почти непрерывно. В силу этого движение электрона в кристалле можно охарактеризовать волновым пакетом, составленным из блоховских функций. Поэтому выражение (40) будет справедливо и для средней скорости движения электрона в кристалле

или для трехмерного случая

где р = hk -- квазиимпульс.

Таким образом, средняя скорость электрона в кристалле определяется производной энергии по квазиимпульсу.

Рассмотрим случай, когда на электрон в кристалле действует внешняя сила F. Пусть Е(k) - энергия электрона в зоне, в которой он движется со скоростью v. Тогда согласно закону сохранения энергии имеем для одномерного движения:

то из сравнения равенств (43) и (44) с учетом (42)

Рассмотрим теперь, как меняется импульс Р электрона кристалла в отсутствии внешнего поля. В кристалле с идеальной структурой, имеющей строго периодическое поле, электрон движется, оставаясь на одном и том же уровне зоны. Поскольку квазиимпульс электрона постоянен, то. Но со стороны поля решетки на электрон действует сила F кр, она и определяет изменение его импульса Р, т.е.

Итак, если структура кристаллической решетки идеальна, то в периодическом поле решетки электрон движется вдоль всего кристалла, имея постоянный квазиимпульс и постоянную скорость. Это значит, что в периодическом поле решетки электрон движется без ускорения. Другими словами, в строго периодическом поле решетки электрон движется как свободная частица, без сопротивления, не рассеиваясь. Если кристалл с идеальной структурой поместить во внешнее поле, то, как следует из (45), движение электрона будет подобно движению свободной частицы под действием внешней силы F.

Пусть свободный электрон с массой m 0 находится в однородном электрическом поле Е. . а электрон действует сила F=-eE, под воздействием которой электрон приобретает ускорение

направленное также, как и внешняя сила.

Для электрона в кристалле, находящемся во внешнем электрическом поле, учитывая (41) и (45), можно записать:

Обобщая (48) для трехмерного случая, получаем:

В этом случае вектор ускорения а не совпадает по направлению с вектором силы F.

Совокупность величин, связывающих векторы а и F, является тензором второго ранга:

Поскольку размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса, то размерность компонент тензора есть размерность обратной массы, а размерность есть размерность массы. Поэтому по аналогии с (47) для свободного электрона тензор (50) называется тензором обратной эффективной массы. Этот тензор симметричен относительно главной диагонали, т.к. . Выбрав соответствующую систему координат, можно свести симметричный тензор к диагональному виду:

Тогда тензором, обратным тензору обратной эффективной массы, будет тензор эффективной массы

Величины называются компонентами тензора эффективной массы. Для кристаллов, обладающих кубической симметрией, m 1 =m 2 =m 3 =m * и тензор вырождается в скаляр. В этом случае изоэнергетические поверхности представляют сферы и описываются уравнением

а выражение для эффективной массы имеет вид

Когда электрон находится в окрестности минимума энергии, т.е. в окрестности дна зоны проводимости,

и m*>0, (54)

т.е. электроны ведут себя как отрицательно заряженные частицы с положительной эффективной массой. При этом согласно (48) и (53) получаем F=m * a и p=mv , т.е. ускорение направлено по направлению внешней силы, а скорость совпадает по направлению с квазиимпульсом. Следовательно, под действием внешнего электрического поля движение электрона, находящегося у дна энергетической зоны кубического кристалла, подобно движению свободной частицы, масса которой равна m*. Ускорение электрону в кристалле сообщает только внешняя сила. Действие поля решетки проявляется в том, что при наличии внешней силы движение электрона определяется не его обычной массой, а эффективной.

В окрестности максимума энергии, т.е. в окрестности валентной зоны,

и направление ускорения электрона противоположно направлению действующей на него внешней силы и направлено по полю. Такой носитель заряда в окрестности вершины валентной зоны себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой и носит название дырки.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния. Поскольку зона проводимости и валентная зона кремния включают р-состояние (рис.4), для которого в кристалле вырождение снимается, то каждая из них представляет собой наложение трех различных зон. На рис.5 они представлены тремя ветвями Е(k). Эта зависимость неодинакова для разных кристаллографических направлений. Одна из ветвей зоны проводимости лежит значительно ниже других. Положение абсолютного минимума энергии определяет дно зоны проводимости. Минимумы энергии называют также долинами. Абсолютный минимум зоны проводимости у кремния лежит в направлении осей недалеко от границы зоны Бриллюэна. Поэтому у кремния имеется шесть эквивалентных минимумов энергии, а следовательно на первую зону Бриллюэна приходится шесть эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии, вытянутых вдоль осей . Значения компонент тензора эффективной массы электрона m 1 =m 2 =m t и m 3 =m l , где m t и m l поперек осей симметрии и вдоль оси вращения эллипсоида, и называются соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Минимальное расстояние между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны называется шириной запрещенной зоны. У кремния экстремумы энергии электронов и дырок лежат в различных точках зоны Бриллюэна. Валентная зона также состоит из трех подзон, для всех максимумы находятся в центре зоны Бриллюэна k=0. Изоэнергетические поверхности представляют собой гофрированные поверхности.

Рис.5

Рис 6. Температурная зависимость концентрации электронов в кремнии при концентрации доноров 10 15 см -3 .

Усреднение по различным направлениям в к-пространстве позволяет заменить гофрированную поверхность сферической. В этом случае эффективная масса является скалярной величиной и должно существовать два типа дырок: тяжелые и легкие.

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. св-ва квазичастиц. Напр., движение электрона проводимости в кристалле под действием внеш. силы F и сил со стороны крист. решётки (см. ТВЁРДОЕ ТЕЛО, ЗОННАЯ ТЕОРИЯ) в ряде случаев может быть описано как движение свободного эл-на, на к-рый действует только сила F (закон Ньютона), но с Э. м. m*, отличной от массы m свободного эл-на. Это отличие отражает вз-ствие эл-на проводимости с решёткой. В простейшем случае Э. м. определяется соотношением:

где? - энергия, р - квазиимпульс эл-на проводимости.

Понятие Э. м. обобщают для др. типов возбуждений (фононов, фотонов, экситонов и др.). Если зависимость?(р) (дисперсии закон) анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор (тензор обратных эфф. масс)

Это означает, что ускорение эл-на в решётке в общем случае направлено не параллельно внеш. силе F. Оно может быть направлено даже антипараллельно F, что соответствует отрицат. значению Э. м. Св-ва эл-нов с отрицат. Э. м. столь отличаются от св-в обычных ч-ц, что оказалось удобным ввести в рассмотрение фиктивные положит. заряж. ч-цы - дырки с положит. Э. м.

При изучении гальваномагнитных явлений пользуются т. н. циклотронной Э. м. эл-нов и дырок:

где S - площадь сечения изоэнергетич. поверхности?(p)=const плоскостью, перпендикулярной магн. полю Н. Наиболее важные методы определения Э. м. эл-нов проводимости и дырок - циклотронный резонанс, измерение электронной теплоёмкости и др.

В теории квантовой жидкости для квазичастиц - фермионов с изотропным законом дисперсии Э. м. наз. отношение:

где р0 и v0- абс. значения импульса и скорости квазичастиц при абс. нуле темп-ры, соответствующие Ферми энергии. Э. м. атома жидкого 3Не m*=3,08 m0, где m0 - масса свободного атома 3Не (см. ГЕЛИЙ ЖИДКИЙ).

• - величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. св-ва квазичастиц...

  Физическая энциклопедия

• - з в е з д ы - параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол-во энергии, излучаемое звездой в единицу времени...

  Физическая энциклопедия

• - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич...

  Математическая энциклопедия

• - величина воздействующего ионизирующего излучения, используемая как мера риска возникновения отдаленных последствий облучения всего тела человека и отдельных его органов и тканей с учетом их...

  Гражданская защита. Понятийно-терминологический словарь

• - проницаемость пористой среды для какой-либо жидкости или газа при одновременном наличии в породе смеси их...

  Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

• - минимальная концентрация токсиканта, при которой регистрируется отклик организма на его воздействие...

  Экологический словарь

• - сумма эффективной дозы внешнего облучения, полученной за календарный год, и ожидаемой...
• - см. Доза эффективная...

  Словарь терминов черезвычайных ситуаций

• - ж english: efficient deformation deutsch: wirksame Verformung f français: déformation f...

  Русско-английский (-немецко, -французский) металлургический словарь

• - Д., вызывающая определенный фармакологический эффект...

  Большой медицинский словарь

• - величина, характеризующая лучевое поражение, оставшееся от предыдущего облучения к данному моменту времени с учетом процессов восстановления...

  Большой медицинский словарь

• - показатель, характеризующий комплексное воздействие на человека температуры и влажности окружающего воздуха; определяется по показаниям термометра и психрометра с применением специальных таблиц или номограмм...

  Большой медицинский словарь

• - оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной...

  Геологическая энциклопедия

• - скорость распространения сейсмических волн, вычисляемая по годографам отраженных и преломленных волн в предположении, что среда однородна, а граница-плоская...

  Геологическая энциклопедия

• - токсичность двухфазная, произведение токсичности на летучесть яда, величины которых выражены в относительных по сравнению с другими веществами единицах измерений...

  Экологический словарь

• - стоимость имущества, с точки зрения его настоящего владельца равная большей из двух величин – потребительской стоимости имущества для данного владельца и стоимости реализации имущества...

  Большой экономический словарь

"ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА" в книгах

Эффективная реклама

Из книги Прибыльная парикмахерская. Советы владельцам и управляющим автора Белешко Дмитрий Сергеевич

Эффективная командировка

Из книги На пике возможностей. Правила эффективности профессионалов автора Поузен Роберт

Эффективная командировка Учитывая детали, связанные непосредственно с перемещением, не забудьте и о других факторах эффективности. В частности, четко определите цели поездки и убедитесь, что ваш график позволяет их достичь. Если вы путешествуете за границу,

Эффективная встреча

Из книги Эффективный руководитель автора Друкер Питер Фердинанд

Эффективная встреча Встреча, доклад или презентация – типичные составляющие работы любого руководителя. Его специфические повседневные инструменты. Они также занимают значительное количество его времени, даже если он достигает больших успехов в анализе затрат

ЭФФЕКТИВНАЯ СИСТЕМА

Из книги Практика управления человеческими ресурсами автора Армстронг Майкл

ЭФФЕКТИВНАЯ СИСТЕМА В руководстве ИПР по использованию автоматизированных систем управления персоналом (1999) утверждается, что эффективная система будет обладать следующими качествами: удовлетворение потребности организации; удобство в использовании;

Эффективная переписка

Из книги MBA в кармане: Практическое руководство по развитию ключевых навыков управления автора Пирсон Барри

Эффективная переписка Избегайте писанины всегда, когда это возможно:– не пишите, чтобы всего лишь подтвердить или признать;– звоните, а не отправляйте сообщение;– пишите свой ответ прямо на служебных записках;– заготовьте стандартные формулировки, чтобы

Эффективная частота

Из книги Реклама. Принципы и практика автора Уэллс Уильям

а) «ЗАКОСНЕЛАЯ МАССА» И «НЕУДОВЛЕТВОРЁННАЯ МАССА»

Из книги Том 2 автора Энгельс Фридрих

а) «ЗАКОСНЕЛАЯ МАССА» И «НЕУДОВЛЕТВОРЁННАЯ МАССА» Жестокосердие, закоснелость и слепое неверие «массы» имеют одного довольно решительного представителя. Этот представитель говорит об «исключительно гегельянском философском образовании берлинского

Эффективная масса

БСЭ

Эффективная мощность

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЭФ) автора БСЭ

Эффективная презентация

Из книги Мастерство продажи автора Завадский Мишель

Эффективная презентация Давайте для начала определимся с тем, что такое презентация. Провести презентацию – это значит не просто рассказать клиенту о вашей фирме, предложении о сотрудничестве или о конкретном продукте.Провести презентацию – это означает показать

Эффективная мотивация

автора Кинан Кейт

Эффективная мотивация Создать мотив для более эффективной работы – значит воодушевить и вдохновить людей. Желание работать лучше и подходить к работе творчески возникает тогда, когда для работы созданы подходящие условия. Усилия, которые вы прикладываете для создания

Эффективная мотивация

Из книги Эффективная мотивация автора Кинан Кейт

Эффективная мотивация Вам кажется, что качество работы не меняется к лучшему? Причиной может быть недостаточно активное поощрение сотрудников. Не бойтесь поручать им ответственную работу и позвольте выполнять ее так, как они считают нужным. Ответственность заставляет

Эффективная стрессотерапия

Из книги Разблокируй свою память: запомни все! автора Мюллер Станислав

Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что каждый человек должен уметь справляться с ним без труда. Увы! Стресс по-прежнему постоянно присутствует в жизни многих и многих людей, кому-то помогая, кому-то мешая, а кому-то нанося немалый

Эффективная стрессотерапия

Из книги Вспомни всё [Секреты суперпамяти. Книга-тренажер] автора Мюллер Станислав

Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что каждый человек должен уметь справляться с ним без труда. Увы!

Эффективная стрессотерапия

Из книги Как в 2 раза улучшить память за 45 минут автора Мюллер Станислав

Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что с ним каждый человек должен уметь справляться без труда. Увы. Стресс постоянно присутствует в жизни многих и многих людей, кому-то помогая, кому-то мешая, а кому-то откровенно вредя.Технология

Эффективная масса. Потенциальное поле решетки изменяет характер движения электрона в кристалле по сравнению с его движением в свободном пространстве. Поведение свободного электрона описывается волной де Бройля и импульс электрона связан с волновым вектором соотношением . Поэтому закон дисперсии для свободного электрона носит квадратичный характер

(4.36)

Если на электрон не действуют внешние силы, то его энергия не изменяется и, следовательно, сохраняется его состояние.

Рассмотрим движение электрона в кристалле, на который действует внешняя сила Скорость электрона связана с энергией соотношением

. (4.37)

Ускорение электрона равняется

(4.38)

Воспользовавшись классическим законом сохранения энергии получим

Подстановка (4.37) в (4.39) приводит к выражению, аналогичному второму закону Ньютона

(4.40)

(4.41)

Эта величина называется эффективной массой электрона и учитывает влияние периодической кристаллической решетки на движение электрона в кристалле под действием внешних сил. Эффективная масса не отражает ни инерциальных, ни гравитационных свойств электрона, а является некоторым удобным коэффициентом, с помощью которого можно рассматривать движение электрона в кристалле под действием внешней силы как свободного, то есть сложные законы движения электронов в кристалле свести к законам, которые по форме совпадают с законами классической механики. По величине эффективная масса может быть больше и меньше действительной массы электрона, а по знаку – положительной и отрицательной.

Форма изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек

Если рассматривать закон дисперсии в -пространстве, то уравнение определяет в этом пространстве некоторую поверхность, которая называется изоэнергетической поверхностью или поверхностью постоянной энергии. Форма этой поверхности, которая зависит от энергетического спектра электрона в кристалле, определяет многие физические свойства металлов и полупроводников.

Определим форму изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек зоны, воспользовавшись решением (4.33). Для примитивных решеток с параметрами выражение (4.33) можно привести к виду

Здесь учтено взаимодействие только с шестью ближайшими соседними атомами, то есть Так как

(4.43)

Представим в виде ряда Тейлора вблизи экстремальных точек первой зоны Бриллюэна. Ввиду того, что в экстремуме то, используя разложение косинуса по малому параметру, получим из (4.42) для центра зоны ()

(4.44)

и для края зоны ()

. (4.45)

Здесь коэффициенты представляют собой диагональные элементы тензора обратной эффективной массы

(4.46)

Для кристаллов, которые обладают кубической симметрией, все три главные оси эквивалентны и тензор обратной эффективной массы вырождается в скаляр .

Из (4.46) видно, что знак эффективной массы зависит от знака обменного интеграла При в точках находится максимум энергии и эффективная масса отрицательна, а в точках минимум энергии и эффективная масса положительная. При в точках находится максимум энергии и а в точках =0 – минимум энергии и

Обменное взаимодействие сильнее для верхних энергетических зон в результате большего перекрывания волновых функций. Следовательно, эффективная масса, которая обратно пропорциональна обменному взаимодействию, будет уменьшаться с ростом номера зоны.

Ширина разрешенных зон определяется разностью

Величина запрещенной зоны будет определяться разностью между минимальным и максимальным значениями энергии двух соседних зон (4.44 – 4.45), то есть в основном разностью соседних энергетических уровней электрона в изолированном атоме, которая уменьшается с увеличением энергии. Следовательно, с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается, а запрещенных зон уменьшается .

Как видно из (4.44 – 4.45), закон дисперсии носит квадратичный характер, отклонения от него обусловлены необходимостью учета более высоких степеней разложения в ряд Тейлора.

Понятие о дырках. В электрическом поле на электрон действует сила, равная

Для электрона, который находится вблизи потолка энергетической зоны, эффективная масса отрицательна и ускорение, обусловленное внешней силой, будет равняться

(4.49)

Следовательно, такой носитель заряда ведет себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой.

Запишем выражение для плотности тока, создаваемого электронами почти заполненной зоны

(4.50)

где – скорость электрона с волновым вектором и спином . Суммирование проводится по всем заполненным состояниям зоны Бриллюэна.

Ток, который переносится электронами полностью заполненной зоны, равняется нулю, потому что средняя скорость электронов для такой зоны равняется нулю. Поэтому (4.50) можно переписать в эквивалентной форме

(4.51)

Следовательно, ток, создаваемый электронами, которые заполняют определенную совокупность состояний в зоне, эквивалентный току, который могли бы создать частицы с положительным зарядом при заполнении ими вакантных состояний. Таким образом, хотя единственными реальными носителями заряда являются электроны, в некоторых случаях для удобства можно считать, что ток полностью переносится положительными частицами, которые заполняют все те состояния в зоне, которые не заняты электронами. Такие фиктивные частицы называют дырками.

Перечислим физические свойства дырки.