วิธีการ เครเมอร์และ เกาส์- หนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาที่ได้รับความนิยมมากที่สุด สลอ- นอกจากนี้ในบางกรณีขอแนะนำให้ใช้วิธีการเฉพาะ เซสชั่นใกล้จะถึงแล้ว และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะทำซ้ำหรือเชี่ยวชาญตั้งแต่ต้น วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีของ Cramer ท้ายที่สุดแล้ว การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธี Cramer ถือเป็นทักษะที่มีประโยชน์มาก

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นคือระบบสมการในรูปแบบ:

ชุดค่า x ซึ่งสมการของระบบกลายเป็นอัตลักษณ์เรียกว่าคำตอบของระบบ ก และ ข เป็นสัมประสิทธิ์จริง ระบบง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวสามารถแก้ได้ในหัวของคุณ หรือโดยการแสดงตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่อาจมีตัวแปร (xes) มากกว่าสองตัวใน SLAE และการปรับแต่งโรงเรียนง่ายๆ ที่นี่ยังไม่เพียงพอ จะทำอย่างไร? ตัวอย่างเช่น แก้ SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer!

ดังนั้นให้ระบบประกอบด้วย n สมการด้วย n ไม่ทราบ

ระบบดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์

ที่นี่ ก – เมทริกซ์หลักของระบบ เอ็กซ์ และ บี ตามลำดับ เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักและเงื่อนไขอิสระ

การแก้ไข SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer

ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ (เมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์) ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตามวิธีของแครมเมอร์ สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่ เดลต้า คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลัก และ เดลต้า x nth – ดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักโดยการแทนที่คอลัมน์ที่ n ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ

นี่คือสาระสำคัญทั้งหมดของวิธี Cramer การแทนที่ค่าที่พบโดยใช้สูตรข้างต้น x เข้าสู่ระบบที่ต้องการ เรามั่นใจในความถูกต้อง (หรือกลับกัน) ของโซลูชันของเรา เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญได้อย่างรวดเร็ว เราจะให้ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา SLAE แบบละเอียดโดยใช้วิธีของ Cramer ด้านล่างนี้:

ถึงแม้จะไม่สำเร็จในครั้งแรกก็อย่าท้อถอย! ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะเริ่มแคร็ก SLAU เหมือนถั่ว ยิ่งไปกว่านั้น ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเจาะโน้ตบุ๊กอีกต่อไป เพื่อแก้ไขการคำนวณที่ยุ่งยากและเขียนแกนหลัก คุณสามารถแก้ SLAE ได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีของ Cramer ทางออนไลน์ เพียงแค่แทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในแบบฟอร์มที่เสร็จแล้ว คุณสามารถลองใช้เครื่องคำนวณโซลูชันออนไลน์โดยใช้วิธีของ Cramer บนเว็บไซต์นี้ เป็นต้น

และหากระบบกลายเป็นหัวแข็งและไม่ยอมแพ้ คุณสามารถขอความช่วยเหลือจากผู้เขียนของเราได้ตลอดเวลา เช่น ซื้อเรื่องย่อ หากมีสิ่งแปลกปลอมในระบบอย่างน้อย 100 รายการ เราจะแก้ไขให้ถูกต้องและตรงเวลาอย่างแน่นอน!

2. การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)
3. วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการ

วิธีการของแครมเมอร์

วิธีแครมเมอร์ใช้ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ( สลอ).

สูตรที่ใช้ตัวอย่างระบบสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว
ที่ให้ไว้:แก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:
ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ -

ลองใช้สูตรของ Cramer และค้นหาค่าของตัวแปร:
และ .
ตัวอย่างที่ 1:
แก้ระบบสมการ:

เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:


ให้เราแทนที่คอลัมน์แรกในตัวกำหนดนี้ด้วยคอลัมน์สัมประสิทธิ์จากด้านขวาของระบบแล้วค้นหาค่าของมัน:

ลองทำสิ่งที่คล้ายกันโดยแทนที่คอลัมน์ที่สองในดีเทอร์มิแนนต์แรก:

ใช้งานได้ สูตรของแครเมอร์และค้นหาค่าของตัวแปร:
และ .
คำตอบ:
ความคิดเห็น:วิธีนี้สามารถแก้ระบบมิติที่สูงกว่าได้

ความคิดเห็น:หากปรากฎว่า แต่ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แสดงว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ในกรณีนี้ ระบบอาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย

ตัวอย่างที่ 2(จำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด):

แก้ระบบสมการ:

เกี่ยวกับตัวแปร เอ็กซ์และ ที่.
สารละลาย:
ให้เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ:

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

สมการแรกของระบบคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร (เพราะ 4 เท่ากับ 4 เสมอ) ซึ่งหมายความว่าเหลือเพียงสมการเดียวเท่านั้น นี่คือสมการสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร
เราพบว่าคำตอบของระบบคือคู่ของค่าใดๆ ของตัวแปรที่สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:
วิธีแก้ปัญหาเฉพาะสามารถกำหนดได้โดยการเลือกค่า y ที่กำหนดเองและคำนวณ x จากความเท่าเทียมกันของการเชื่อมต่อนี้

ฯลฯ
มีวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน
คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
โซลูชั่นส่วนตัว:

ตัวอย่างที่ 3(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ระบบเข้ากันไม่ได้):

แก้ระบบสมการ:

สารละลาย:
ให้เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ:

ไม่สามารถใช้สูตรของแครมเมอร์ได้ ลองแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีทดแทนกัน

สมการที่สองของระบบคือความเท่าเทียมกันที่ไม่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร (แน่นอนเนื่องจาก -15 ไม่เท่ากับ 2) หากสมการข้อใดข้อหนึ่งของระบบไม่เป็นความจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร แสดงว่าทั้งระบบไม่มีคำตอบ
คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สิ่งนี้จะช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบค่าในแต่ละสมการ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้วิธีของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ แต่ถ้ามันเท่ากับศูนย์ก็จะใช้ไม่ได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะได้

คำนิยาม- ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบและเขียนแทนด้วย (เดลต้า)

ปัจจัยกำหนด

ได้จากการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งแปลกปลอมที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

.

ทฤษฎีบทของแครเมอร์. ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว และความไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครเมอร์เรามี:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแก้ของแครเมอร์

สามกรณีเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ชัดเจนจาก ทฤษฎีบทของแครเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และเงื่อนไขอิสระนั้นเป็นสัดส่วน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nเรียกว่าตัวแปร ไม่ใช่ข้อต่อถ้าเธอไม่มีทางออกเดียวและ ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี เรียกว่าระบบสมการที่มีคำตอบเดียวเท่านั้น แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง – ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ให้ระบบได้รับ

.

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของแครเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ปัจจัยกำหนดระบบ เราได้รับปัจจัยที่เหลือโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยเงื่อนไขอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

.

ดังนั้นระบบจึงมีความชัดเจน เพื่อหาคำตอบ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวของระบบ

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครเมอร์

หากในระบบสมการเชิงเส้นไม่มีตัวแปรในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับศูนย์ในดีเทอร์มิแนนต์! นี่คือตัวอย่างถัดไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

.

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดูระบบสมการและดีเทอร์มิแนนต์ของระบบอย่างละเอียด แล้วตอบซ้ำสำหรับคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์อย่างน้อยหนึ่งรายการจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบจึงมีค่าแน่นอน เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบ

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครเมอร์

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีของ Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว หากปัจจัยกำหนดของระบบเท่ากับศูนย์ และปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจะไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อชี้แจงให้กระจ่างยิ่งขึ้น เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ

ปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครเมอร์

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้น ยังมีปัญหาที่นอกเหนือจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรแล้ว ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ด้วย ตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแทนของตัวเลข ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติ สมการและระบบสมการดังกล่าวประสบปัญหาในการค้นหาคุณสมบัติทั่วไปของปรากฏการณ์หรือวัตถุใดๆ นั่นก็คือคุณได้คิดค้นอะไรขึ้นมาบ้าง วัสดุใหม่หรืออุปกรณ์ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนของอินสแตนซ์ คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่แทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรจะมีตัวอักษร คุณไม่จำเป็นต้องมองหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงถึงจำนวนจริงเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

การหาปัจจัยกำหนดสิ่งที่ไม่รู้

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น ดูเหมือนว่า

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ เราจะเขียนแทนด้วยอักษรกรีก D ดังนั้น

หากปัจจัยหลักประกอบด้วยค่าใด ๆ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขระบบอิสระ (1.5) จากนั้นคุณจะได้รับ nรอบคัดเลือกเสริม:

(เจ = 1, 2, …, n). (1.7)

กฎของแครเมอร์การแก้ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นมีดังนี้ หากปัจจัยหลัก D ของระบบ (1.5) แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 1.5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ดังนั้น,

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นก็คือ

ตัวอย่างที่ 1.6 .

การบวกเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์ตัวหนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าเป็นจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:

ดังนั้นเมื่อทำการคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ nถึงเมทริกซ์ ในขนาด n´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค- ในกรณีนี้คือองค์ประกอบเมทริกซ์ กับคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8.ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์หากเป็นไปได้ เอบีและ ปริญญาตรี:

สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) การทำงาน ปริญญาตรีไม่มีอยู่ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์จตุรัส กถ้าความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสมีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มิแนนต์จะแตกต่างจากศูนย์ พบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

ที่ไหน อาจ- การเติมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าการบวกพีชคณิตในแถวเมทริกซ์ กอยู่ในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร (1.13) ซึ่งในกรณีนี้ n= 3 มีรูปแบบ:

มาหาเดชกัน. ก = | ก- = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เป็นศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่

1) ค้นหาการเสริมพีชคณิต อาจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้ใส่การบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก- ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบ (1.5) จะถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) จากทางซ้ายด้วย เอ- 1. เราได้คำตอบของระบบ:

ดังนั้น เพื่อที่จะหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบแล้วคูณทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.ให้เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

โดยที่เมทริกซ์หลักของระบบคือคอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และเป็นคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบคือ เมทริกซ์หลักของระบบจึงเป็น กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1. เพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราคำนวณการเสริมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:

จากตัวเลขที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ (และการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนมันลงในคอลัมน์ที่เหมาะสม) แล้วหารมันด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้สูตร (1.15):

ดังนั้น,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสอง):

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบเช่น ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันของระบบทั้งหมด (1.16) ในกรณีทั่วไป ระบบ (1.16) สามารถมีได้ไม่เพียงแต่โซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันอีกนับไม่ถ้วนอีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวจะใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมของโรงเรียนที่รู้จักกันดีซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา สาระสำคัญของวิธีนี้คือในหนึ่งในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ในระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและมีตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว สมการที่แสดงตัวแปรจะถูกจดจำ

กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าสมการสุดท้ายจะยังคงอยู่ในระบบ ด้วยกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างอาจกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เช่น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากสมการเหล่านี้พอใจกับค่าใด ๆ ของตัวแปรดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก สมการอย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถพอใจกับค่าของตัวแปรใด ๆ (ตัวอย่าง) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากไม่มีสมการที่ขัดแย้งกันเกิดขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ สมการสุดท้ายจะพบตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้น หากสมการสุดท้ายเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ตัวแปรเหล่านั้นจะถือเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า "การย้อนกลับ" จะเกิดขึ้น ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรตัวที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำสุดท้าย และตัวแปรที่สามจะถูกพบ และต่อๆ ไป จนถึงสมการแรกที่จดจำ

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ คำตอบนี้จะไม่ซ้ำกันหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากพบตัวแปรแรกแล้วตามด้วยตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ตัวอย่างที่ 1.11

x

หลังจากจำสมการแรกและนำพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสามแล้ว เราก็มาถึงระบบ:

มาแสดงออกกันเถอะ ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:

ให้เราจำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ z:

การทำงานย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ z- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จำได้สุดท้ายจากจุดที่เราพบ ย:

จากนั้นเราจะแทนลงในสมการแรกที่จำได้ จากจุดที่เราพบ x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วการแสดงออก ยจากสมการแรกและแทนลงในสมการที่สองเราจะได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็นค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ z- ส่งผลให้ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบด้วยตนเองว่าปัจจัยกำหนดหลักของระบบดั้งเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

ให้เราพิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) ด้วยเทอมเดียวเท่านั้น

ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

สารละลาย.เช่นเดิมเราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

ขอให้เราจำสมการแรกและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

กำลังแสดงออก ยจากสมการแรกและแทนลงในสมการที่สอง เราจะได้เอกลักษณ์ 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อคำตอบของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเสมอภาคที่จำได้ครั้งสุดท้ายคือตัวแปร zเราจะถือว่ามันเป็นพารามิเตอร์ เราเชื่อ. แล้ว

มาทดแทนกัน ยและ zเข้าสู่ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่จดจำและค้นหา x:

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ได้โดยใช้สูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง ที:

(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงถึงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).

ในกรณีที่ระบบดั้งเดิม (1.16) มีสมการและค่าไม่ทราบจำนวนเพียงพอ วิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาที่ระบุอาจดูยุ่งยาก อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริง ก็เพียงพอที่จะได้รับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวในรูปแบบทั่วไปและจัดรูปแบบการแก้ปัญหาในรูปแบบของตาราง Jordan พิเศษ

ให้ระบบรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน เอ็กซ์เจ- ตัวแปรอิสระ (ค้นหา) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, n- ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ใช่แล้ว (ฉัน = 1, 2,…, ม) อาจเป็นตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) หรือค่าคงที่ก็ได้ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป

ให้เราพิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งเรียกด้านล่างว่า "ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา" จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกันเราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( xs) และแทนที่ลงในความเท่าเทียมกันอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ปัญหา (บางครั้งเป็นแนวทางหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังต่อไปนี้:

จาก ส- ความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง xs(หลังจากพบตัวแปรที่เหลือแล้ว) สบรรทัด -th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในเวลาต่อมา ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่น้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของระบบดั้งเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว xsผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการต่างๆ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ บีจ(ฉัน¹ ร) ของสมการใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแทนตัวแปรที่แสดงใน (1.22) xsวี ฉันสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้สูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้น รสมการที่:

(1.25)
การเปลี่ยนแปลงของระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาจะแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) จึงเชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1

	x 1	x 2	…	เอ็กซ์เจ	…	xs	…	เอ็กซ์เอ็น
ย 1 =	ก 11	ก 12		ก 1เจ		ก 1ส		ก 1n
…………………………………………………………………..
ใช่แล้ว=	ฉัน 1	ฉัน 2		ไอจ		เป็น		ใน
…………………………………………………………………..
ใช่=	อาร์ 1	อาร์ 2		อาร์เจ		อาร์เอส		อาร์น
………………………………………………………………….
ใช่=	เช้า 1	เช้า 2		มจ		นางสาว		นาที

ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งใช้เขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และแถวส่วนหัวด้านบนที่ใช้เขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางจะสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ กไปที่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวหัวเรื่องบนสุด คุณจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตาราง Jordan เป็นรูปแบบเมทริกซ์สำหรับการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ระบบ (1.21) สอดคล้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.2

	x 1	x 2	…	เอ็กซ์เจ	…	ใช่	…	เอ็กซ์เอ็น
ย 1 =	ข 11	ข 12		ข 1 เจ		ข 1 ส		ข 1 n
…………………………………………………………………..
ใช่ ฉัน =	ข ฉัน 1	ข ฉัน 2		บีจ		ข คือ		ข เข้า
…………………………………………………………………..
x ส =	บีอาร์ 1	บีอาร์ 2		บีอาร์เจ		บีอาร์เอส		เบอร์น
………………………………………………………………….
ใช่ =	ข ม 1	ข ม 2		บีเอ็มเจ		บีเอ็มเอส		ข ม

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นด้วยตัวหนา โปรดจำไว้ว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบการเปิดใช้งานเรียกว่าแถวการเปิดใช้งาน คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( xs) จากแถวส่วนหัวด้านบนของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกที่ว่างของระบบ ( ใช่) ย้ายจากคอลัมน์หัวด้านซ้ายของตารางไปยังแถวหัวบนสุด

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่เมื่อย้ายจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบการแก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของสตริงการแก้ไขจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการแก้ไขและเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบความละเอียด:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวที่อนุญาตและคอลัมน์ที่อนุญาตจะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:

สูตรสุดท้ายง่ายต่อการจำหากคุณสังเกตเห็นว่าองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วนอยู่ที่จุดตัด ฉัน-โอ้และ รเส้นและ เจและ สคอลัมน์ที่ th (การแยกแถว การแยกคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณใหม่ตั้งอยู่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตรคุณสามารถใช้แผนภาพต่อไปนี้:

-21 -26 -13 -37

เมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของ Jordan คุณสามารถเลือกองค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์เป็นองค์ประกอบการแก้ปัญหา x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เป็นศูนย์) อย่าเลือกองค์ประกอบการเปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เพราะ คุณต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5. เช่น เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในบรรทัดที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปยังตารางที่ 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในกรณีนี้คือตัวแปร x 3 แสดงผ่านตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 ได้หลังจากจำล่วงหน้าแล้ว คอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดหัวเรื่องด้านบนก็ไม่รวมอยู่ในตารางที่ 1.4 เช่นกัน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์ที่กำหนด ข ฉัน 3 พจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ การกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และจดจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยขีดเส้นออก x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 จำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบน)

ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วอย่างต่อเนื่องลงในบรรทัดที่จำได้ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ตัวแปร x 5 สามารถกำหนดค่าได้ตามใจชอบ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราได้พิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบแล้วและพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

x 1 = - 3 + 2ที

x 2 = - 1 - 3ที

x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที

x 5 = ที

ให้พารามิเตอร์ ทีเมื่อค่าต่างกัน เราก็จะได้คำตอบของระบบเดิมจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)

เครื่องคิดเลขออนไลน์เครื่องนี้ค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น (SLE) โดยใช้วิธี Cramer มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด ในการคำนวณ ให้เลือกจำนวนตัวแปร จากนั้นป้อนข้อมูลลงในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

วิธีแครมเมอร์

วิธีของแครมเมอร์เป็นวิธีการแก้ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์หลัก ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ให้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ได้รับ:

ที่ไหน ก- เมทริกซ์หลักของระบบ:

อันแรกจะต้องพบและอันที่สองจะได้รับ

เนื่องจากเราถือว่าดีเทอร์มีแนนต์ Δ ของเมทริกซ์ กแตกต่างจากศูนย์ แล้วก็มีค่าผกผันกับ กเมทริกซ์ ก-1. จากนั้นคูณเอกลักษณ์ (2) จากทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราได้รับ:

เมทริกซ์ผกผันมีรูปแบบดังนี้:

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

1. คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ Δ ของเมทริกซ์หลัก ก.
2. การแทนที่คอลัมน์ 1 ของเมทริกซ์ กเป็นเวกเตอร์ของสมาชิกอิสระ ข.
3. การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ Δ 1 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์ ก 1 .
4. คำนวณตัวแปร x 1 = Δ 1 /Δ
5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2−4 สำหรับคอลัมน์ 2, 3, ..., nเมทริกซ์ ก.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา SLE โดยใช้วิธีของ Cramer

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีแครมเมอร์:

แทนที่คอลัมน์ 1 ของเมทริกซ์ กต่อคอลัมน์เวกเตอร์ ข:

แทนที่คอลัมน์ 2 ของเมทริกซ์ กต่อคอลัมน์เวกเตอร์ ข:

แทนที่คอลัมน์ 3 ของเมทริกซ์ กต่อคอลัมน์เวกเตอร์ ข:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นมีการคำนวณดังนี้:

ลองเขียนมันในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน=ข, ที่ไหน

เราเลือกองค์ประกอบนำหน้าแบบโมดูโลที่ใหญ่ที่สุดของคอลัมน์ 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสลับแถวที่ 2 และ 4 ในกรณีนี้ เครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเป็น "-"

เราเลือกองค์ประกอบนำหน้าแบบโมดูโลที่ใหญ่ที่สุดของคอลัมน์ 3 ในการดำเนินการนี้ เราจะสลับแถวที่ 3 และ 4 ในกรณีนี้ เครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเป็น "+"

เราได้นำเมทริกซ์มาไว้ด้านบนแล้ว มุมมองสามเหลี่ยม- ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลัก:

เพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก 1 เราลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านบน คล้ายกับขั้นตอนข้างต้น เราได้รับเมทริกซ์ต่อไปนี้:

แทนที่คอลัมน์ 2 ของเมทริกซ์ กต่อคอลัมน์เวกเตอร์ ขเราลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านบนและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์:

,,,.