คำจำกัดความ 1. พวกเขากล่าวว่าในบางประสบการณ์เหตุการณ์ ก นำมาซึ่งตามมาด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ในหากเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้น กเหตุการณ์มา ใน- สัญลักษณ์สำหรับคำจำกัดความนี้ ก Ì ใน- ในแง่ของเหตุการณ์เบื้องต้น หมายความว่าแต่ละเหตุการณ์เบื้องต้นจะรวมอยู่ในนั้นด้วย กรวมอยู่ในนั้นด้วย ใน.

คำจำกัดความ 2. เหตุการณ์ กและ ในเรียกว่าเท่ากับหรือเทียบเท่า (แสดง ก= ใน), ถ้า ก Ì ในและ ในÌ A คือ กและ ในประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นเดียวกัน

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้แสดงด้วยเซตกอด Ω และเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้แสดงด้วยเซตย่อยว่าง Æ ที่อยู่ในนั้น ความไม่ลงรอยกันของเหตุการณ์ กและ ในหมายความว่าเซตย่อยที่สอดคล้องกัน กและ ในอย่าตัดกัน: ก∩ใน = Æ.

คำจำกัดความ 3 ผลรวมของสองเหตุการณ์ Aและ ใน(แสดง กับ= ก + ใน) เรียกว่าเหตุการณ์ กับประกอบด้วย อย่างน้อยก็มาหนึ่งในเหตุการณ์ กหรือ ใน(คำเชื่อม "หรือ" สำหรับจำนวนเงินคือ คำหลัก), เช่น. มาหรือ ก, หรือ ใน, หรือ กและ ในด้วยกัน.

ตัวอย่าง. ให้นักแม่นปืนสองคนยิงเข้าเป้าพร้อมๆ กัน และเกิดเหตุการณ์ กคือผู้ยิงคนแรกเข้าเป้าและเกิดเหตุการณ์ บี– ว่าผู้ยิงคนที่ 2 โดนเป้าหมาย เหตุการณ์ ก+ บีหมายความว่าเป้าหมายถูกโจมตี หรืออีกนัยหนึ่ง คือ มีผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคน (ผู้ยิงที่ 1 หรือผู้ยิงที่ 2 หรือผู้ยิงทั้งสองคน) ยิงเข้าที่เป้าหมาย

ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเหตุการณ์จำนวนจำกัด ก 1 , ก 2 , …, ก n (แสดงว่า ก= ก 1 + ก 2 + … + ก n) เหตุการณ์ถูกเรียก กประกอบด้วย เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งจากเหตุการณ์ต่างๆ กฉัน ( ฉัน = 1, … , n) หรือการรวบรวมตามอำเภอใจ กฉัน ( ฉัน = 1, 2, … , n).

ตัวอย่าง. ผลรวมของเหตุการณ์ ก, บี, ซีคือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้ ก, บี, ซี, กและ ใน, กและ กับ, ในและ กับ, กและ ในและ กับ, กหรือ ใน, กหรือ กับ, ในหรือ กับ,กหรือ ในหรือ กับ.

คำจำกัดความที่ 4 ผลผลิตของสองเหตุการณ์ กและ ในเรียกว่าเหตุการณ์ กับ(แสดง กับ = ก ∙ บี) ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากการทดสอบมีเหตุการณ์เกิดขึ้นด้วย เอ,และเหตุการณ์ ในพร้อมกัน (คำเชื่อม “และ” สำหรับจัดกิจกรรมคือคำสำคัญ)

คล้ายกับผลคูณของเหตุการณ์จำนวนจำกัด ก 1 , ก 2 , …, ก n (แสดงว่า ก = ก 1 ∙ก 2 ∙…∙ ก n) เหตุการณ์ถูกเรียก กประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากการทดสอบเหตุการณ์ที่ระบุทั้งหมดเกิดขึ้น

ตัวอย่าง. หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ ก, ใน, กับมีปรากฏเป็น “ตราแผ่นดิน” ในการทดลองครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม ตามลำดับ จากนั้นจึงเกิดเหตุการณ์ ก× ใน× กับมีการลดลงของ "ตราแผ่นดิน" ในการทดลองทั้งสามครั้ง

หมายเหตุ 1. สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ กและ ในความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก ∙ บี= Æ โดยที่ Æ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

หมายเหตุ 2. เหตุการณ์ ก 1 , ก 2, … , ก n สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ถ้า

คำจำกัดความที่ 5 เหตุการณ์ตรงกันข้ามเรียกว่าเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่เป็นไปได้สองเหตุการณ์ซึ่งรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ เอ,แสดงโดย เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ กเป็นส่วนเสริมของงาน กไปยังเซต Ω

สำหรับเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม จะมีเงื่อนไขสองข้อที่ตรงตามเงื่อนไขพร้อมกัน เอ∙= และ เอ+= Ω.

คำนิยาม 6 โดยความแตกต่างเหตุการณ์ต่างๆ กและ ใน(แสดง ก– ใน) เรียกว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กจะมาถึงและเหตุการณ์ ใน -ไม่และมันก็เท่ากัน ก– ใน= ก× .

สังเกตเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น A + B, A ∙ B, , ก – บีสะดวกในการตีความแบบกราฟิกโดยใช้ไดอะแกรมออยเลอร์–เวนน์ (รูปที่ 1.1)

ข้าว. 1.1. การดำเนินการกับเหตุการณ์: การปฏิเสธ ผลรวม ผลคูณ และผลต่าง

ให้เราสร้างตัวอย่างดังนี้: ปล่อยให้ประสบการณ์ ชประกอบด้วยการยิงสุ่มในพื้นที่ Ω ซึ่งจุดที่เป็นเหตุการณ์เบื้องต้น ω ให้การเข้าสู่ภูมิภาค Ω เป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ Ω และให้การเข้าสู่ภูมิภาค กและ ใน– เหตุการณ์ตามลำดับ กและ ใน- แล้วเหตุการณ์ต่างๆ เอ+บี(หรือ กÈ ใน- แสงสว่าง พื้นที่ในรูป) ก ∙ บี(หรือ กÇ ใน -พื้นที่ตรงกลาง) เอ-บี(หรือ ก\ใน -ภูมิภาคย่อยแสง) จะตรงกับภาพทั้งสี่ในรูป 1.1. ในเงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ที่มีผู้ยิงสองคนยิงเข้าเป้า ผลคูณของเหตุการณ์ กและ ในจะมีงานเกิดขึ้น ค = กÇ ในประกอบด้วยการยิงธนูทั้งสองลูกเข้าเป้า

หมายเหตุ 3 ถ้าการดำเนินการกับเหตุการณ์แสดงเป็นการดำเนินการบนเซต และเหตุการณ์แสดงเป็นสับเซตของเซต Ω บางเซต ดังนั้นผลรวมของเหตุการณ์ เอ+บีตรงกับสหภาพ กÈ ในส่วนย่อยเหล่านี้และผลคูณของเหตุการณ์ ก ∙ บี- จุดตัด ก∩ในส่วนย่อยเหล่านี้

ดังนั้นการดำเนินการในเหตุการณ์จึงสามารถเชื่อมโยงกับการดำเนินการในฉากได้ จดหมายโต้ตอบนี้แสดงไว้ในตาราง 1.1

ตารางที่ 1.1

การกำหนด	ภาษาความน่าจะเป็น	ตั้งค่าภาษาทฤษฎี
	ธาตุอวกาศ เหตุการณ์ต่างๆ	ชุดยูนิเวอร์แซล
	งานประถมศึกษา	องค์ประกอบจากชุดสากล
	เหตุการณ์สุ่ม	เซตย่อยขององค์ประกอบ ω จาก Ω
	เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้	เซตของทั้งหมด ω
	เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้	ชุดเปล่า
กเอ็ม ว	กนำมาซึ่ง ใน	ก– เซตย่อย ใน
เอ+บี(กÈ ใน)	ผลรวมของเหตุการณ์ กและ ใน	ยูเนี่ยนของชุด กและ ใน
ก× วี(กÇ ใน)	การผลิตกิจกรรม กและ ใน	จุดตัดของชุด กและ ใน
เอ-บี(ก\ใน)	ความแตกต่างของเหตุการณ์	กำหนดความแตกต่าง

การดำเนินการกับเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(สับเปลี่ยน);

(เอ + บี) ∙ ค = ก× ซี + บี× C, A ∙ B + C =(เอ+ซี) × ( บี + ซี) (การกระจาย);

(เอ + บี) + กับ = ก + (บี + ซี), (ก ∙ บี) ∙ กับ= ก ∙ (ข ∙ ซี) (เชื่อมโยง);

A + A = A, A ∙ A = A;

ก + Ω = Ω, ก∙ Ω = ก;

งานร่วมและงานไม่ร่วม

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า ข้อต่อในการทดลองที่กำหนด หากรูปลักษณ์ของอันใดอันหนึ่งไม่ได้แยกรูปลักษณ์ของอีกอันหนึ่งออกไป ตัวอย่าง : โจมตีเป้าหมายที่ทำลายไม่ได้ด้วยลูกศรสองลูกที่แตกต่างกันและได้รับแต้มเท่ากันบนลูกเต๋าทั้งสองลูก

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เข้ากันไม่ได้(เข้ากันไม่ได้) ในการทดลองที่กำหนด หากไม่สามารถเกิดขึ้นร่วมกันในการทดลองเดียวกันได้ หลายเหตุการณ์เรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากเข้ากันไม่ได้แบบคู่ ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ก) ตีแล้วพลาดด้วยนัดเดียว; b) ชิ้นส่วนจะถูกสุ่มออกจากกล่องพร้อมชิ้นส่วน - เหตุการณ์ "ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกไป" และ "ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานถูกนำออกไป" c) ความหายนะของบริษัทและผลกำไร

กล่าวอีกนัยหนึ่งเหตุการณ์ กและ ในเข้ากันได้ถ้าชุดที่สอดคล้องกัน กและ ในมีองค์ประกอบร่วมกัน และไม่สอดคล้องกันหากชุดที่สอดคล้องกัน กและ ในไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน

เมื่อพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ มักใช้แนวคิดนี้ เป็นไปได้เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ต่างๆ เหตุการณ์ต่างๆ ในการทดลองหนึ่งๆ จะถูกเรียกว่าเป็นไปได้เท่ากัน หากตามเงื่อนไขของความสมมาตร มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าไม่มีเหตุการณ์ใดที่เป็นไปได้มากกว่าเหตุการณ์อื่นๆ (การสูญเสียหัวและก้อย การปรากฏไพ่ของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง การเลือกลูกบอลจากโกศ ฯลฯ )

การทดลองแต่ละครั้งมีความเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์จำนวนหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋า เหตุการณ์คือการทอยเลขสอง และกิจกรรมคือการทอยเลขคู่ แน่นอนว่าเหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกัน

ให้ผลการทดสอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นได้ในหลายกรณีที่เป็นไปได้โดยเฉพาะ โดยแยกจากกัน แล้ว

ü ผลการทดสอบแต่ละรายการจะแสดงด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นเพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้น

ü ทุกเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบนี้คือเซตของเหตุการณ์พื้นฐานที่มีจำนวนจำกัดหรือไม่จำกัด

ü เหตุการณ์จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์พื้นฐานเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่รวมอยู่ในชุดนี้เกิดขึ้นเท่านั้น

พื้นที่ตามอำเภอใจแต่คงที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นสามารถแสดงเป็นพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งบนระนาบได้ ในกรณีนี้ เหตุการณ์เบื้องต้นคือจุดของเครื่องบินที่อยู่ด้านใน เนื่องจากเหตุการณ์ถูกระบุด้วยชุด การดำเนินการทั้งหมดที่สามารถทำได้บนชุดจึงสามารถดำเนินการกับเหตุการณ์ได้ โดยการเปรียบเทียบกับทฤษฎีเซต เราจึงสร้างขึ้นมา พีชคณิตของเหตุการณ์- ในกรณีนี้ สามารถกำหนดการดำเนินการและความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ต่อไปนี้ได้:

กÌ บี(ตั้งค่าความสัมพันธ์แบบรวม: set กเป็นสับเซตของเซต ใน) – เหตุการณ์ A เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ B- กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเหตุการณ์ ในเกิดขึ้นทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้น ก. ตัวอย่าง - การทอยสองอันส่งผลให้ได้แต้มเป็นเลขคู่

(กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน) – เหตุการณ์ เหมือนกันหรือ เทียบเท่าเหตุการณ์. สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อและในเวลาเดียวกันนั่นคือ แต่ละรายการจะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่สิ่งอื่นเกิดขึ้น ตัวอย่าง – เหตุการณ์ A – การพังทลายของอุปกรณ์ เหตุการณ์ B – การพังทลายของบล็อก (บางส่วน) ของอุปกรณ์อย่างน้อยหนึ่งบล็อก

() – ผลรวมของเหตุการณ์. นี่คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์หรือ (ตรรกะ "หรือ") เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์ โดยทั่วไป ผลรวมของเหตุการณ์ต่างๆ ถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ตัวอย่าง – เป้าหมายถูกโจมตีด้วยอาวุธชิ้นแรก อาวุธชิ้นที่สอง หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน

() – ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์. นี่คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันและ (ตรรกะ "และ") โดยทั่วไปแล้ว การผลิตเหตุการณ์ต่างๆ ถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันทั้งหมด ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆ จึงเข้ากันไม่ได้หากการผลิตเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เช่น . ตัวอย่าง – เหตุการณ์ A คือการถอดไพ่ชุดเพชรออกจากสำรับ เหตุการณ์ B คือการถอดไพ่เอซ แล้วลักษณะของเอซเพชรจะไม่เกิดขึ้น

การตีความทางเรขาคณิตของการดำเนินการกับเหตุการณ์มักมีประโยชน์ ภาพประกอบการดำเนินงานแบบกราฟิกเรียกว่าแผนภาพเวนน์

กิจกรรม

เหตุการณ์. งานประถมศึกษา.

พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

เหตุการณ์ที่เหมือนกัน

ผลรวม ผลต่างของเหตุการณ์

เหตุการณ์ตรงกันข้าม. เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน

ภายใต้ เหตุการณ์ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เราเข้าใจข้อเท็จจริงใดๆ ที่อาจหรืออาจไม่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ด้วยผลลัพธ์แบบสุ่ม ผลลัพธ์ที่ง่ายที่สุดของการทดลองดังกล่าว (ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของ "หัว" หรือ "ก้อย" เมื่อโยนเหรียญ, โจมตีเป้าหมายเมื่อยิง, การปรากฏตัวของเอซเมื่อหยิบไพ่ออกจากสำรับ, การปรากฏตัวเลขแบบสุ่มเมื่อขว้างลูกเต๋าฯลฯ) เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น .

ชุดประถมศึกษาทั้งหมดเหตุการณ์ต่างๆ อีเรียกว่า องค์ประกอบอวกาศ กิจกรรมบรรจุภัณฑ์ . ใช่เมื่อ เมื่อขว้างลูกเต๋า พื้นที่นี้ประกอบด้วยหกเหตุการณ์พื้นฐานและเมื่อถอดการ์ดออกจากสำรับ - จาก 52 เหตุการณ์อาจประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานหนึ่งเหตุการณ์ขึ้นไปเช่นการปรากฏตัวของเอซสองตัวติดต่อกันเมื่อถอดการ์ดออกจากสำรับหรือการปรากฏตัวของ จำนวนเท่ากันเมื่อโยนลูกเต๋าสามครั้ง จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้ เหตุการณ์ เป็นเซตย่อยตามอำเภอใจของพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เรียกว่าพื้นที่ทั้งหมดของเหตุการณ์เบื้องต้น ดังนั้นเหตุการณ์บางอย่างจึงเป็นเหตุการณ์ที่ต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ที่ได้รับ เมื่อโยนลูกเต๋า เหตุการณ์เช่นนี้จะเกิดขึ้นเมื่อลูกเต๋าไปถูกหน้าใดหน้าหนึ่ง

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ () เรียกว่าเซตย่อยว่างของปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น นั่นคือเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากประสบการณ์ที่ได้รับ ดังนั้น เมื่อขว้างลูกเต๋า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ก็คือมันตกลงไปบนขอบของมัน

กิจกรรม กและ ในถูกเรียกว่าเหมือนกัน (ก= ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้นเท่านั้นใน .

พวกเขาบอกว่าเหตุการณ์นั้น ก ก่อให้เกิดเหตุการณ์ ใน ( ก ใน) ถ้าจากเงื่อนไข"เหตุการณ์ A เกิดขึ้น" ควร "เหตุการณ์ B เกิดขึ้น".

เหตุการณ์ กับเรียกว่า ผลรวมของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ก, หรือ ใน.

เหตุการณ์ กับเรียกว่า ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมันเกิดขึ้นเท่านั้นก, และ ใน.

เหตุการณ์ กับเรียกว่า ความแตกต่างของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก – ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับเกิดขึ้นแล้วเมื่อนั้นเท่านั้น เมื่อมันเกิดขึ้นเหตุการณ์ กและเหตุการณ์นั้นก็ไม่เกิดขึ้น ใน.

เหตุการณ์ เอ"เรียกว่า ตรงข้าม เหตุการณ์กหากไม่มีเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น ก- ดังนั้นการพลาดและการตีเมื่อยิงจึงเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม

กิจกรรม กและ ในถูกเรียกว่าเข้ากันไม่ได้ (ก ใน = ) , หากการปรากฏตัวพร้อมกันเป็นไปไม่ได้ เช่น ได้ทั้ง “ก้อย” และ"หัว" เมื่อโยนเหรียญ

หากเหตุการณ์หลายอย่างสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการทดลองและแต่ละเหตุการณ์ตามเงื่อนไขวัตถุประสงค์นั้นเป็นไปไม่ได้มากกว่าเหตุการณ์อื่น เหตุการณ์ดังกล่าวจะถูกเรียกว่าเป็นไปได้เท่าเทียมกัน - ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน: การปรากฏตัวของผีสาง เอซ และแจ็คเมื่อไพ่ถูกดึงออกจากสำรับ การเกิดขึ้นของตัวเลขใด ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 6 เมื่อขว้างลูกเต๋า ฯลฯ

ประเภทของเหตุการณ์สุ่ม

เหตุการณ์ที่เรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากการเกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งไม่รวมการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่นในการทดลองเดียวกัน

ตัวอย่าง 1.10.ชิ้นส่วนจะถูกสุ่มเลือกจากกล่องชิ้นส่วน การปรากฏตัวของชิ้นส่วนมาตรฐานช่วยขจัดการปรากฏตัวของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน เหตุการณ์ (ส่วนมาตรฐานปรากฏขึ้น) และ (ส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานปรากฏขึ้น) - เข้ากันไม่ได้ .

ตัวอย่างที่ 1.11มีการโยนเหรียญ การปรากฏตัวของ "ตราแผ่นดิน" ไม่รวมถึงรูปลักษณ์ของหมายเลข เหตุการณ์ (มีเสื้อคลุมแขนปรากฏขึ้น) และ (มีร่างปรากฏขึ้น) - เข้ากันไม่ได้ .

มีหลายเหตุการณ์เกิดขึ้น เต็มกลุ่มหากมีอย่างน้อยหนึ่งรายการปรากฏขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดสอบกล่าวอีกนัยหนึ่งการเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ของกลุ่มเต็มคือ เชื่อถือได้ เหตุการณ์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์เข้ากันไม่ได้แบบคู่ การทดสอบจะส่งผลให้เกิดเหตุการณ์เดียวเท่านั้นกรณีนี้เป็นที่สนใจของเรามากที่สุด เนื่องจากจะมีการนำไปใช้ต่อไป

ตัวอย่างที่ 1.12ซื้อตั๋วลอตเตอรีเงินสดและเสื้อผ้าสองใบ เหตุการณ์หนึ่งเดียวเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน: (เงินรางวัลตกอยู่ที่ตั๋วใบแรกและไม่ตกในตั๋วใบที่สอง) (เงินรางวัลไม่ได้ตกอยู่บนตั๋วใบแรกและตกในใบที่สอง) (เงินรางวัลตก บนตั๋วทั้งสองใบ) (เงินรางวัลไม่ตกกับตั๋วทั้งสองใบหลุดออก) เหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้น เต็มกลุ่ม เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เป็นคู่

ตัวอย่างที่ 1.13คนร้ายยิงไปที่เป้าหมาย หนึ่งในสองสิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน: โดนหรือพลาด เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งสองนี้เกิดขึ้น เต็มกลุ่ม .

เหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นไปได้เท่าเทียมกัน ถ้ามีเหตุให้เชื่ออย่างนั้น ไม่มีเลยเป็นไปไม่ได้มากกว่าอย่างอื่น

3. การดำเนินการกับเหตุการณ์: ผลรวม (สหภาพ) ผลิตภัณฑ์ (ทางแยก) และผลต่างของเหตุการณ์ แผนภาพเวียนนา

การดำเนินกิจกรรมต่างๆ

เหตุการณ์ถูกกำหนดด้วยอักษรตัวใหญ่ของจุดเริ่มต้นของตัวอักษรละติน A, B, C, D, ... โดยจัดให้มีดัชนีหากจำเป็น ความจริงที่ว่าผลเบื้องต้น เอ็กซ์อยู่ในเหตุการณ์ A แสดงว่า

การตีความทางเรขาคณิตโดยใช้แผนภาพเวียนนั้นสะดวกต่อการทำความเข้าใจ ลองจินตนาการถึงปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น Ω ในรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งแต่ละจุดสอดคล้องกับเหตุการณ์เบื้องต้น เหตุการณ์สุ่ม A และ B ประกอบด้วยชุดเหตุการณ์เบื้องต้น x ฉันและ คุณเจดังนั้นจึงแสดงภาพทางเรขาคณิตในรูปแบบของตัวเลขบางตัวที่อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส Ω (รูปที่ 1-a, 1-b)

ให้การทดลองประกอบด้วยการเลือกจุดโดยการสุ่มภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แสดงในรูปที่ 1-a ให้เราแสดงด้วย A เหตุการณ์นั้น (จุดที่เลือกอยู่ภายในวงกลมด้านซ้าย) (รูปที่ 1-a) โดย B เหตุการณ์นั้น (จุดที่เลือกอยู่ภายในวงกลมด้านขวา) (รูปที่ 1-b )

เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือเป็นที่ชื่นชอบของเหตุการณ์ใดๆ ดังนั้นเราจะแสดงเหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือด้วยสัญลักษณ์เดียวกัน Ω

สอง เหตุการณ์เหมือนกันกันและกัน (A=B) หากเหตุการณ์เหล่านี้ประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานเดียวกัน (คะแนน)

ผลรวม (หรือสหภาพ) ของสองเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ A+B (หรือ) ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ A หรือ B เกิดขึ้นเท่านั้น ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B สอดคล้องกับการรวมกันของเซต A และ B (รูปที่ 1-e) .

ตัวอย่างที่ 1.15เหตุการณ์การทอยเลขคู่คือผลรวมของเหตุการณ์: ทอย 2 อัน, ทอย 4 อัน, ทอย 6 อัน กล่าวคือ (x = สม่ำเสมอ }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.

ผลคูณ (หรือจุดตัด) ของสองเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ AB (หรือ) ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทั้ง A และ B เกิดขึ้นเท่านั้น ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B สอดคล้องกับจุดตัดของเซต A และ B (รูปที่ 1)

ตัวอย่างที่ 1.16- เหตุการณ์การหมุน 5 คือจุดตัดของเหตุการณ์: เลขคี่ที่ทอยและมากกว่า 3 ทอย นั่นคือ A(x=5)=B(x-odd)∙C(x>3)

ให้เราสังเกตความสัมพันธ์ที่ชัดเจน:

งานนี้เรียกว่า ตรงข้ามถึง A ถ้ามันเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ A ไม่เกิดขึ้น ในเชิงเรขาคณิต นี่คือเซตของจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่รวมอยู่ในเซตย่อย A (รูปที่ 1-c) เหตุการณ์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน (รูปที่ 1-d)

ตัวอย่างที่ 1.14- เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเลขคู่และเลขคี่ปรากฏเป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม

ให้เราสังเกตความสัมพันธ์ที่ชัดเจน:

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากการปรากฏตัวพร้อมกันในประสบการณ์เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น หาก A และ B เข้ากันไม่ได้ ผลคูณของทั้งสองก็จะกลายเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้:

เหตุการณ์เบื้องต้นที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ไม่เข้ากันแบบคู่กันอย่างเห็นได้ชัด นั่นก็คือ

ตัวอย่างที่ 1.17- เหตุการณ์ที่มีลักษณะเป็นเลขคู่และเลขคี่ถือเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างเท่ากับ 1ตัวอย่างเช่น หากการทดลองโยนเหรียญโดยมีเหตุการณ์ A = หัว และเหตุการณ์ B = ก้อย ดังนั้น A และ B จะเป็นตัวแทนของพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด วิธี, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

ตัวอย่าง.ในตัวอย่างที่เสนอไว้ก่อนหน้านี้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะดึงปากกาสีแดงออกจากกระเป๋าเสื้อคลุม (นี่คือเหตุการณ์ A) ซึ่งมีปากกาสีน้ำเงินสองอันและปากกาสีแดงหนึ่งอัน P(A) = 1/3 µm 0.33 ความน่าจะเป็นของสิ่งที่ตรงกันข้าม กิจกรรม - วาดปากกาสีน้ำเงิน - จะเป็น

ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทหลัก เราจะแนะนำแนวคิดที่ซับซ้อนอีกสองแนวคิด ได้แก่ ผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์ แนวคิดเหล่านี้แตกต่างจากแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับผลรวมและผลคูณทางคณิตศาสตร์ การบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นการดำเนินการเชิงสัญลักษณ์ซึ่งอยู่ภายใต้กฎเกณฑ์บางประการและอำนวยความสะดวกในการสร้างข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ

จำนวนหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ นั่นคือผลรวมของสองเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างเช่น หากผู้โดยสารกำลังรอที่ป้ายรถรางสำหรับสองเส้นทางใด ๆ เหตุการณ์ที่เขาต้องการคือการปรากฏของรถรางในเส้นทางแรก (เหตุการณ์ A) หรือรถรางของเส้นทางที่สอง (เหตุการณ์ B) หรือการปรากฏตัวร่วมกันของรถรางเส้นทางที่หนึ่งและสอง (งาน C) ในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าเหตุการณ์ D ที่ผู้โดยสารต้องการนั้นประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ C ซึ่งจะเขียนเชิงสัญลักษณ์ในรูปแบบ:

ด=เอ+บี+ค

ผลผลิตของสองเหตุการณ์กและ ในเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน กและ ใน. ผลงานจากหลายงานการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่า

ในตัวอย่างข้างต้นกับผู้โดยสารเหตุการณ์ กับ(การปรากฏรถรางสองเส้นทางร่วมกัน) เป็นผลผลิตจากสองเหตุการณ์ กและ ในซึ่งมีการเขียนเชิงสัญลักษณ์ดังนี้:

สมมติว่าแพทย์สองคนแยกกันตรวจผู้ป่วยเพื่อระบุโรคเฉพาะ ในระหว่างการตรวจสอบ เหตุการณ์ต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นได้:

การค้นพบโรคโดยแพทย์ท่านแรก ( ก);

ความล้มเหลวในการตรวจพบโรคโดยแพทย์คนแรก ();

การตรวจหาโรคโดยแพทย์คนที่สอง ( ใน);

ความล้มเหลวในการตรวจพบโรคโดยแพทย์คนที่สอง ()

พิจารณาเหตุการณ์ที่จะตรวจพบโรคระหว่างการตรวจเพียงครั้งเดียว เหตุการณ์นี้สามารถเกิดขึ้นได้สองวิธี:

โรคนี้จะถูกค้นพบโดยแพทย์คนแรก ( ก) และจะไม่ตรวจจับวินาที ();

แพทย์คนแรกจะไม่ตรวจพบโรค และแพทย์คนแรกจะตรวจพบโรคที่สอง ( บี).

ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาโดยเขียนเป็นสัญลักษณ์:

พิจารณาเหตุการณ์ที่จะตรวจพบโรคระหว่างการตรวจ 2 ครั้ง (โดยแพทย์คนแรกและคนที่สอง) เรามาแสดงถึงเหตุการณ์นี้โดยเขียน: .

เราแสดงถึงเหตุการณ์ที่แพทย์คนแรกและคนที่สองไม่ค้นพบโรคและจดบันทึกไว้: