วัตถุประสงค์ของบริการ QS- เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณตัวบ่งชี้ QS ช่องทางเดียวต่อไปนี้:

• ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของช่องสัญญาณ ความน่าจะเป็นของช่องสัญญาณอิสระ ปริมาณงานสัมบูรณ์
• ปริมาณงานสัมพัทธ์ เวลาบริการเฉลี่ย เวลาหยุดทำงานของช่องสัญญาณโดยเฉลี่ย

คำแนะนำ. หากต้องการแก้ไขปัญหาดังกล่าวทางออนไลน์ ให้เลือกโมเดล QS ระบุ ความเข้มของการไหลของความต้องการ แลและ ความเข้มของการไหลของบริการ μ- สำหรับ QS ช่องทางเดียวที่มีความยาวคิวจำกัด คุณสามารถระบุได้ ความยาวคิว มและสำหรับ QS ช่องทางเดียวที่มีคิวไม่จำกัด - จำนวนแอปพลิเคชันในคิว (เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันเหล่านี้จะอยู่ในคิว) ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง - ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word

การจำแนกประเภทของระบบคิวช่องทางเดียว

ตัวอย่างหมายเลข 1 ปั๊มน้ำมันออโต้มี หนึ่งปั๊มน้ำมัน สันนิษฐานว่าปริมาณรถยนต์เข้าสถานีที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น แล = 11 คันต่อชั่วโมง เวลาให้บริการที่ร้องขอเป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นไปตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์ μ=14 ยานพาหนะ/ชั่วโมง กำหนดจำนวนรถยนต์เฉลี่ยที่สถานี

ตัวอย่างหมายเลข 2 มีจุดสำหรับดำเนินการตรวจสอบเชิงป้องกันเครื่องจักรด้วยกลุ่มตรวจสอบเดียว ใช้เวลาโดยเฉลี่ย 0.4 ชั่วโมงในการตรวจสอบและระบุข้อบกพร่องในแต่ละเครื่อง โดยเฉลี่ยจะมีรถยนต์เข้าตรวจสอบประมาณ 328 คันต่อวัน กระแสคำขอและบริการนั้นง่ายที่สุด หากรถที่มาถึงจุดตรวจสอบไม่พบช่องทางเดียว รถจะออกจากจุดตรวจสอบโดยไม่มีบริการ กำหนดความน่าจะเป็นจำกัดของเงื่อนไขและคุณลักษณะการบำรุงรักษาของจุดตรวจสอบเชิงป้องกัน
สารละลาย. โดยที่ α = 328/24 µ = 13.67, t = 0.4 ข้อมูลนี้จะต้องป้อนลงในเครื่องคิดเลข

ระบบรอพร้อมกระแสเข้าไม่จำกัด

ช่องทางที่เหมือนกันไม่ได้รับการร้องขอที่ง่ายที่สุดอย่างเข้มข้น λ - หากในขณะที่ได้รับคำขอ ทุกช่องไม่ว่าง คำขอนี้จะถูกจัดคิวและรอให้การบริการเริ่มต้น เวลาให้บริการของแต่ละคำขอเป็นตัวแปรสุ่มที่ปฏิบัติตามกฎการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ μ .

สูตรการคำนวณ
ความน่าจะเป็นที่ทุกช่องฟรี

เป็นไปได้ว่างานยุ่ง เคช่องทาง โดยมีเงื่อนไขว่าจำนวนคำขอทั้งหมดที่ให้บริการจะต้องไม่เกินจำนวนช่องทาง

ความน่าจะเป็นที่ระบบมี เคคำขอหากจำนวนมากกว่าจำนวนช่อง

ความน่าจะเป็นที่ทุกช่องไม่ว่างคือ

เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันเพื่อเริ่มให้บริการในระบบ

ความยาวคิวเฉลี่ย

จำนวนช่องโดยเฉลี่ยที่ไม่ใช้บริการ

ตัวอย่าง
ปั๊มน้ำมันที่มีปั๊ม 2 ตัวรองรับการไหลของรถยนต์ปัวซองด้วยความเข้มข้น แล = 0.8 คันต่อนาที เวลาในการให้บริการสำหรับเครื่องหนึ่งเป็นไปตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยมีค่าเฉลี่ย 2 นาที ในพื้นที่ไม่มีปั๊มน้ำมันอื่น ดังนั้น คิวหน้าปั๊มจึงเพิ่มขึ้นได้แทบจะไม่จำกัด หา:
1) จำนวนคอลัมน์ที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย
2) ความน่าจะเป็นของการไม่มีคิวที่ปั๊มน้ำมัน
3) โอกาสที่คุณจะต้องรอให้เริ่มให้บริการ
4) จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในคิว;
5) เวลารอโดยเฉลี่ยในแถว;
6) เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน
7) จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน
สารละลาย- ตามเงื่อนไขของปัญหา n=2, แลมบ์ดา=0.8; μ=1/t obs =0.5; ρ=แล/μ=1.6
เพราะ ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
เราค้นหาความน่าจะเป็นของสถานะ QS:

จำนวนคอลัมน์ที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย:
ยังไม่มีข้อความ =n-N 0 = 2-(2 p 0 +1 p 1) = 2-2 0.1111 - 0.1778 = 1.6
ความน่าจะเป็นที่ไม่มีคิวที่ปั๊มน้ำมัน:

ความน่าจะเป็นที่คุณจะต้องรอให้บริการเริ่มต้นเท่ากับความน่าจะเป็นที่คอลัมน์ทั้งหมดจะถูกครอบครอง:
พี 0 +พี 1 +พี 2 = 0.1111+0.1778+0.1422 = 0.4311
จำนวนรถเฉลี่ยต่อคิว:

เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว:
เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน:
t preb =t obs +t เย็น = 2+3.5556 = 5.5556 นาที
จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน:
N แซน +L och = 1.6+2.8444 = 4.4444
พิจารณา QS ช่องทางเดียวที่มีความคาดหวัง ซึ่งจำนวนช่องทางเท่ากับหนึ่งช่องทาง n= 1 ความเข้มของคำขอคือ แลม ความเข้มของการบริการคือ μ แอปพลิเคชันที่ได้รับในเวลาที่ช่องไม่ว่างอยู่ในคิวและรอการบริการ จำนวนที่นั่งในคิวมีจำกัดและเท่ากัน ม- หากสถานที่ทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง แอปพลิเคชันจะปล่อยคิวไว้โดยไม่ให้บริการ มาวิเคราะห์สถานะของระบบ:

• ส 0 – ช่องฟรี
• ส 1 – ช่องไม่ว่าง;
• ส 2 – ช่องไม่ว่าง คำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว
• สเค– ช่องไม่ว่าง (k–1) คำขออยู่ในคิว
• สม+ 1 – ช่องไม่ว่าง อยู่ในคิว มการใช้งาน

ให้เราพรรณนากราฟสถานะของ QS ดังกล่าว (รูปที่ 25)

ข้าว. 25
เมื่อใช้สูตร Erlang เราจะค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า QS อยู่ในสถานะ ส 1 , ส 2 , …, สม.+1:
(28)

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันที่มาถึงระบบจะพบว่าแอปพลิเคชันนั้นฟรีนั้นมีค่าเท่ากับ
. (29)
อัตราส่วนของความเข้มของการรับคำขอ γ ต่อความเข้มของคำขอการบริการ μ คือความเข้มที่ลดลง μ เช่น

ρ=λ/μ
ให้เราแทนที่อัตราส่วน γ/&mu ในสูตร (28) และ (29) ด้วย ρ จากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:

(30)
ความน่าจะเป็น ร 0 จะถูกคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
พี 0 = -1 . (31)
นิพจน์เพื่อความน่าจะเป็น ป 0 คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งผลรวมจะเท่ากับ

.
ดังนั้น สูตร (30) และ (31) ช่วยให้เราสามารถระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ที่อาจเกิดขึ้นในระบบได้ กล่าวคือ กำหนดความน่าจะเป็นของระบบที่จะอยู่ในสถานะใดๆ
สูตรสำหรับ ป 0 ใช้ได้สำหรับกรณีที่ ρ ≠ 1 ในกรณีที่ ρ = 1 นั่นคือความเข้มของการรับแอปพลิเคชันเท่ากับความเข้มของการบริการ จะมีการใช้สูตรอื่นเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ระบบจะว่าง:

,
โดยที่ m คือจำนวนแอปพลิเคชันในคิว

เรามากำหนดกัน ลักษณะการทำงานของ QS ช่องทางเดียว:

• ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันถัดไปที่มาถึงในระบบจะถูกปฏิเสธ รเปิด;
• ปริมาณงานที่แน่นอน ก,
• ปริมาณงานสัมพัทธ์ ถาม,
• จำนวนช่องที่ถูกครอบครอง k,
• จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิว r
• จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับ QS, z

คำขอเข้าสู่ระบบครั้งถัดไปจะถูกปฏิเสธเมื่อช่องไม่ว่าง กล่าวคือ คำขออื่นกำลังให้บริการอยู่ เพียงเท่านี้ มสถานที่ในคิวก็เต็มเช่นกัน จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

. (32)
ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันจะเข้าสู่ระบบและให้บริการทันทีหรือจะมีที่ในคิว เช่น ปริมาณงานสัมพัทธ์ สามารถพบได้โดยใช้สูตร

. (33)
จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่สามารถให้บริการได้ต่อหน่วยเวลา เช่น ปริมาณงานสัมบูรณ์ มีการคำนวณดังนี้:

A=คิว·แล (34)
ดังนั้นการใช้สูตร (32), (33), (34) จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพหลักสำหรับระบบคิวใด ๆ ตอนนี้เราจะได้นิพจน์สำหรับการคำนวณคุณลักษณะที่มีอยู่ใน QS นี้เท่านั้น
เรากำหนดจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิว r เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง โดยที่ ร– จำนวนแอปพลิเคชันในคิว
♦ ร 2 คือความน่าจะเป็นที่จะมีการร้องขอหนึ่งรายการในคิวเพื่อรับบริการ
♦ ร 3 – ความน่าจะเป็นที่มีสองแอปพลิเคชันอยู่ในคิว
♦ รเค– ความน่าจะเป็นที่มีแอปพลิเคชัน (k–1) อยู่ในคิว
♦ รม+ 1 – ความน่าจะเป็นที่มี m แอปพลิเคชันอยู่ในคิว
จากนั้นสามารถคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวได้ดังนี้:
r =1·P 2 +2·P 3 + ... +(k-1)·P k + ... +m·P ม.+1 . (35)
ให้เราแทนที่ค่าความน่าจะเป็นที่พบก่อนหน้านี้ในสูตร (35) ซึ่งคำนวณในสูตร (30):
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +ม·ρ ม+1 ·p 0 (35)
ลองเอาความน่าจะเป็นออกจากสมการกัน ป 0 และ ร 2 จากนั้นเราจะได้สูตรสุดท้ายในการคำนวณจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิวเพื่อรับบริการ:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
ให้เราได้รับสูตรสำหรับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับ QS, z เช่นจำนวนแอปพลิเคชันในคิวที่กำลังให้บริการ พิจารณาจำนวนแอปพลิเคชันทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ QS, z เป็นผลรวมของสองค่าของจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว r และจำนวนช่องที่ไม่ว่าง k:

z = r + k
เนื่องจากมีเพียงช่องเดียว จำนวนช่องที่ถูกครอบครอง k จึงสามารถรับค่า 0 หรือ 1 ได้ ความน่าจะเป็นที่ k = 0 เช่น ระบบว่าง สอดคล้องกับความน่าจะเป็น P 0 ซึ่งหาค่าได้โดยใช้สูตร (31) ถ้า k = 1 นั่นคือ ช่องสัญญาณไม่ว่างในการให้บริการตามคำขอ แต่ยังมีที่ในคิว ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

.
ดังนั้น z จะเท่ากับ:

. (37)

QS ช่องทางเดียวพร้อมการรอคอย

ระบบคิวมีช่องทางเดียว โฟลว์คำขอบริการขาเข้าเป็นโฟลว์ที่ง่ายที่สุดโดยมีความเข้มข้น l ความเข้มข้นของกระแสการบริการเท่ากับ m (นั่นคือ โดยเฉลี่ยแล้ว ช่องสัญญาณที่ไม่ว่างอย่างต่อเนื่องจะออกคำขอรับบริการ m) ระยะเวลาการให้บริการเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล โฟลว์บริการเป็นโฟลว์เหตุการณ์ปัวซองที่ง่ายที่สุด คำขอที่ได้รับเมื่อช่องไม่ว่างอยู่ในคิวและรอการบริการ
ให้เราสมมติว่าไม่ว่าคำขอจะมาถึงอินพุตของระบบการให้บริการจำนวนเท่าใด ระบบนี้ (คิว + ไคลเอนต์ที่ให้บริการ) ไม่สามารถรองรับได้มากกว่าข้อกำหนด N (แอปพลิเคชัน) กล่าวคือ ไคลเอนต์ที่ไม่ได้ถูกระงับจะถูกบังคับให้ให้บริการ ที่อื่น สุดท้ายนี้ คำขอบริการที่สร้างต้นทางมีความจุไม่จำกัด (ขนาดใหญ่ไม่จำกัด)
กราฟสถานะของ QS ในกรณีนี้มีแบบฟอร์มที่แสดงในรูปที่ 1 3.2.


กราฟสถานะของ QS ช่องทางเดียวพร้อมการรอ (รูปแบบการตายและการสืบพันธุ์)
รัฐ QS มีการตีความดังต่อไปนี้:
S 0 - ช่องฟรี
S 1 - ช่องไม่ว่าง (ไม่มีคิว);
S 2 - ช่องไม่ว่าง (คำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว)
………………………………
ส น -ช่องไม่ว่าง (คำขอ n - 1 รายการอยู่ในคิว)
……………………………
S N - ช่องไม่ว่าง (แอปพลิเคชัน N - 1 อยู่ในคิว)
การลดลงคงที่ในระบบนี้จะถูกอธิบายโดยระบบสมการพีชคณิตต่อไปนี้:

พี -หมายเลขสถานะ
การแก้ระบบสมการข้างต้น (3.10) สำหรับแบบจำลอง QS ของเรามีรูปแบบ

ควรสังเกตว่าการปฏิบัติตามเงื่อนไขการคงอยู่สำหรับ QS ที่กำหนดนั้นไม่จำเป็น เนื่องจากจำนวนแอปพลิเคชันที่ยอมรับเข้าสู่ระบบการให้บริการจะถูกควบคุมโดยการจำกัดความยาวของคิว (ซึ่งไม่เกิน เอ็น- 1) และไม่ใช่อัตราส่วนระหว่างความเข้มของการไหลเข้า นั่นคือ ไม่ใช่อัตราส่วน
ลิตร/เมตร = p
เรามากำหนดกัน ลักษณะของ QS ช่องทางเดียวโดยมีการรอและจำกัดความยาวคิวเท่ากับ (น- 1):

ลองพิจารณาตัวอย่าง QS ช่องทางเดียวที่มีการรอคอย
ตัวอย่างที่ 3.2โพสต์การวินิจฉัยเฉพาะทางคือ QS ช่องทางเดียว จำนวนที่จอดรถสำหรับรถยนต์ที่รอการวินิจฉัยมีจำนวนจำกัดและเท่ากับ 3 คัน [(น- 1) = 3]. หากพื้นที่จอดรถเต็มแล้ว กล่าวคือ มีรถอยู่ในคิวอยู่แล้วสามคัน รถคันถัดไปที่มาถึงเพื่อการวินิจฉัยจะไม่ถูกจัดอยู่ในคิวเพื่อรับบริการ การไหลเวียนของรถยนต์ที่เข้ารับการตรวจวินิจฉัยมีการกระจายตามกฎของปัวซองและมีความเข้มข้น ล= 0.85 (คันต่อชั่วโมง) เวลาในการวินิจฉัยรถยนต์จะกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลและเฉลี่ย 1.05 ชั่วโมง
จำเป็นต้องกำหนดลักษณะความน่าจะเป็นของสถานีวินิจฉัยที่ทำงานในโหมดหยุดนิ่ง
สารละลาย
1. พารามิเตอร์การไหลของการบำรุงรักษายานพาหนะ:

2. ความเข้มของการไหลของการจราจรที่ลดลงถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของความเข้ม l และ m เช่น

3. มาคำนวณความน่าจะเป็นสุดท้ายของระบบกัน:

พี 1 = ρ พี 0 = 0.893 0.248 = 0.221
พี 2 = ρ 2 พี 0 = 0.893 2 0.248 = 0.198
พี 3 = ρ 3 พี 0 = 0.893 3 0.248 = 0.177
พี 4 = ρ 4 พี 0 = 0.893 2 0.248 = 0.158
4. ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการบริการยานพาหนะ:
P เปิด =P 4 =ρ 4 ·P 0 data 0.158
5. ปริมาณงานสัมพัทธ์ของโพสต์การวินิจฉัย:
q=1-P เปิด = 1-0.158 = 0.842
6. ปริมาณงานที่แน่นอนของสถานีวินิจฉัย
A=γ·q = 0.85·0.842 = 0.716 (คันต่อชั่วโมง)
7. จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยที่เข้ารับบริการและเข้าคิว (เช่น ในระบบคิว):

8. เวลาเฉลี่ยที่รถอยู่ในระบบ:
9. ระยะเวลาการเข้าพักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวรับบริการ:
W q = W S -1/μ = 2.473-1/0.952 = 1.423 ชั่วโมง
10. จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิว (ความยาวคิว): ลิตร= ก,(1 - P N) Wq= 0,85
L q = แล (1-P N) W q = 0.85 (1-0.158) 1.423 = 1.02
การทำงานของโพสต์วินิจฉัยที่พิจารณาแล้วนั้นถือว่าน่าพอใจเนื่องจากโพสต์วินิจฉัยไม่ได้ให้บริการรถยนต์โดยเฉลี่ยใน 15.8% ของกรณี (รเปิด= 0.158) ในฐานะที่เป็นตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพของ QS ที่มีความคาดหวัง นอกเหนือจากตัวบ่งชี้ที่ทราบอยู่แล้ว - ปริมาณงาน A สัมบูรณ์และ Q สัมพัทธ์ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว P การปฏิเสธ , จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย (สำหรับระบบหลายช่องสัญญาณ) เราจะพิจารณาสิ่งต่อไปนี้ด้วย: ระบบ L - จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ ทีระบบ - เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ ล.มาก - จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว (ความยาวคิว) ทีโอเช - เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว Rzan.. - ความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง (ระดับการโหลดช่อง)

ระบบช่องเดียวไม่จำกัดคิว

ในทางปฏิบัติ มักพบปัญหา QS ช่องทางเดียวที่มีคิวไม่จำกัด (เช่น โทรศัพท์สาธารณะที่มีบูธเดียว)
ลองพิจารณาปัญหา
มี QS ช่องทางเดียวที่มีคิวซึ่งไม่มีข้อจำกัดใดๆ (ไม่เกี่ยวกับความยาวของคิวหรือเวลาในการรอ) โฟลว์ของคำขอที่มาถึง QS มีความเข้มข้น γ และโฟลว์การบริการมีความเข้มข้น μ มีความจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐและตัวชี้วัดประสิทธิภาพของ QS
ระบบสามารถอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง S 0 , S 1 , S 2 , …, S k ตามจำนวนคำขอใน QS: S 0 - ช่องสัญญาณว่าง S 1 - ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว S 2 - ช่องไม่ว่าง มีคำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว ... S k - ช่องไม่ว่าง (k-1) แอปพลิเคชันอยู่ในคิว ฯลฯ
กราฟสถานะของ QS จะแสดงในรูป 8.

ข้าว. 8
นี่เป็นกระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ แต่ด้วยจำนวนสถานะที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งความเข้มของโฟลว์ของแอปพลิเคชันเท่ากับ แลม และความเข้มของโฟลว์ของบริการคือ μ
ก่อนที่จะเขียนสูตรเพื่อจำกัดความน่าจะเป็น คุณต้องแน่ใจว่ามีอยู่จริง เพราะในกรณีที่เวลา t→∞ คิวสามารถเพิ่มขึ้นได้อย่างไม่มีขีดจำกัด ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ถ้าρ<1, เหล่านั้น. จำนวนแอปพลิเคชันขาเข้าโดยเฉลี่ยน้อยกว่าจำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการโดยเฉลี่ย (ต่อหน่วยเวลา) ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงมีจำกัด ถ้าρ≥1, คิวก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ เราจะใช้สูตร (16), (17) สำหรับกระบวนการตายและการสืบพันธุ์ (ที่นี่เรายอมรับการขาดความเข้มงวดบางประการ เนื่องจากก่อนหน้านี้ได้รับสูตรเหล่านี้สำหรับกรณีที่มีจำนวนจำกัด สถานะของระบบ) เราได้รับ(32)
เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จำกัดนั้นมีอยู่เฉพาะสำหรับ ρ เท่านั้น< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
พี 0 =1-ρ, (33)
และคำนึงถึงความสัมพันธ์ (17)
พี 1 = ρ·พี 0 ; พี 2 = ρ 2 ·พี 0 ; - พี เค =ρ เค ·พี 0 ; -
มาดูความน่าจะเป็นแบบจำกัดของรัฐอื่นๆ กัน
พี 1 =ρ·(1-ρ); พี 2 =ρ 2 ·(1-ρ); - p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
ความน่าจะเป็นจำกัด p 0 , p 1 , p 2 , …, p k , … สร้างอาชีพเรขาคณิตลดลงโดยมีตัวส่วน p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบ L ระบบ เราจะพิจารณาโดยใช้สูตรความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะอยู่ในรูปแบบโดยคำนึงถึง (34)
(35)
(ผลรวมจาก 1 ถึง ∞ เนื่องจากเทอมที่เป็นศูนย์คือ 0·p 0 =0)
จะเห็นได้ว่าสูตร (35) แปลงรูป (ที่ ρ< 1) к виду
(36)
ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชั่นในคิว L กันหน่อย เห็นได้ชัดว่า
L och =L ระบบ -L รอบ (37)
โดยที่ L เล่ม - จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการ
จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยภายใต้การให้บริการถูกกำหนดโดยสูตรสำหรับการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคำขอภายใต้การให้บริการ โดยรับค่า 0 (หากช่องสัญญาณว่าง) หรือ 1 (หากช่องสัญญาณไม่ว่าง):
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
เหล่านั้น. จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยภายใต้บริการเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง:
L och =P ซาน =1-p 0 , (38)
มีผลบังคับใช้ (33)
L และ =P z ρ, (39)
ตอนนี้ตามสูตร (37) โดยคำนึงถึง (36) และ (39)
(40)
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า สำหรับลักษณะการไหลของแอปพลิเคชันใดๆ สำหรับการกระจายเวลาการบริการ สำหรับวินัยการบริการใดๆ เวลาเฉลี่ยที่คำขออยู่ในระบบ (คิว) จะเท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ (ในคิว) ที่แบ่ง ด้วยความเข้มข้นของกระแสการใช้งานเหล่านั้น.
(41)
(42)
เรียกสูตร (41) และ (42) สูตรของน้อง.พวกเขาเกิดจากความจริงที่ว่า ในโหมดจำกัดและอยู่กับที่ จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่มาถึงในระบบจะเท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ออกจากระบบ:กระแสคำขอทั้งสองมีความเข้มข้นเท่ากัน แล
ตามสูตร (41) และ (42) โดยคำนึงถึง (36) และ (40) เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบจะถูกกำหนดโดยสูตร:
(43)
และเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว
(44)

QS ช่องทางเดียวพร้อมการรอโดยไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับความจุของบล็อกการรอ

โหมดการทำงานแบบอยู่กับที่ของ QS นี้อยู่ที่ t→∞ สำหรับ n=0,1,2,... และเมื่อ l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
การแก้ระบบสมการนี้มีรูปแบบ
Pn =(1-ρ)·ρ n , n=0,1,2,... (3.21)
โดยที่ ρ=แลม/μ< 1
ลักษณะของ QS ช่องทางเดียวที่มีการรอโดยไม่มีข้อจำกัดความยาวคิวมีดังนี้:
จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ย (คำขอ) สำหรับบริการในระบบ:
ระยะเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าอยู่ในระบบ:

ตัวอย่างที่ 3.3ให้เรานึกถึงสถานการณ์ที่พิจารณาในตัวอย่างที่ 3.2 ซึ่งเรากำลังพูดถึงการทำงานของโพสต์การวินิจฉัย ให้จุดตรวจวินิจฉัยดังกล่าวมีพื้นที่จอดรถไม่จำกัดจำนวนสำหรับยานพาหนะที่เข้ารับบริการ กล่าวคือ ความยาวของคิวไม่จำกัด
จำเป็นต้องกำหนดค่าสุดท้ายของลักษณะความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

• ความน่าจะเป็นของสถานะของระบบ (สถานีวินิจฉัย)
• จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในระบบ (อยู่ระหว่างการให้บริการและอยู่ในคิว)
• ระยะเวลาเฉลี่ยของยานพาหนะที่อยู่ในระบบ (สำหรับการบริการและในคิว)
• จำนวนรถยนต์เฉลี่ยที่เข้าคิวเข้ารับบริการ
• ระยะเวลาเฉลี่ยที่รถอยู่ในแถว

สารละลาย
1. พารามิเตอร์การไหลของบริการ m และความเข้มข้นที่ลดลงของการไหลของยานพาหนะ p ถูกกำหนดไว้ในตัวอย่างนี้ 3.2:
ม. = 0.952; พี = 0.893
2. คำนวณความน่าจะเป็นจำกัดของระบบโดยใช้สูตร
P 0 =1-ρ = 1-0.893 = 0.107
ป 1 =(1-ρ) ρ = (1-0.893) 0.893 = 0.096
ป 2 =(1-ρ) ρ 2 = (1-0.893) 2 0.893 = 0.085
พ 3 =(1-ρ) ρ 3 = (1-0.893) 3 0.893 = 0.076
ป 4 =(1-ρ) ρ 4 = (1-0.893) 4 0.893 = 0.068
ป 5 =(1-ρ) ρ 5 = (1-0.893) 5 0.893 = 0.061
ฯลฯ
ควรสังเกตว่า P o กำหนดสัดส่วนของเวลาที่บังคับให้โพสต์การวินิจฉัยไม่ทำงาน (ไม่ได้ใช้งาน) ในตัวอย่างของเราคือ 10.7% เนื่องจาก อาร์ โอ= 0,107.
3. จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในระบบ (อยู่ระหว่างให้บริการและอยู่ในคิว):
4. ระยะเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าอยู่ในระบบ:

6. ระยะเวลาเฉลี่ยที่รถอยู่ในคิว -
7. ปริมาณงานของระบบสัมพัทธ์:
กล่าวคือทุกแอปพลิเคชันที่เข้ามาในระบบจะได้รับการบริการ
8. ปริมาณงานสัมบูรณ์: ก= ล ถาม= 0.85 1 = 0.85
ควรสังเกตว่าบริษัทที่ดำเนินการวินิจฉัยรถยนต์นั้นสนใจในจำนวนลูกค้าที่จะไปตรวจวินิจฉัยเป็นหลัก เมื่อข้อจำกัดความยาวของคิวถูกยกเลิก
สมมติว่าในเวอร์ชันดั้งเดิมจำนวนที่จอดรถสำหรับรถยนต์ที่มาถึงมีค่าเท่ากับสาม (ดูตัวอย่าง 3.2) ความถี่ ม. ของสถานการณ์เมื่อรถมาถึงจุดวินิจฉัยไม่สามารถเข้าร่วมคิวได้:

ต= ล พี เอ็น

ในตัวอย่างของเรา โดยที่ N = 3 + 1 = 4 และ p = 0.893
ม. = ล. ป p 4 = 0.85·0.248·0.8934·0.134 คันต่อชั่วโมง
ด้วยโหมดการทำงาน 12 ชั่วโมงของสถานีวินิจฉัย ซึ่งเทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าโดยเฉลี่ยแล้วสถานีวินิจฉัยจะสูญเสียรถ 12·0.134 = 1.6 คันต่อกะ (วัน)
การยกเลิกข้อจำกัดความยาวของคิวทำให้เราสามารถเพิ่มจำนวนลูกค้าที่ให้บริการในตัวอย่างของเราโดยเฉลี่ย 1.6 คันต่อกะ (ทำงาน 12 ชั่วโมง) ที่สถานีวินิจฉัย เป็นที่แน่ชัดว่าการตัดสินใจขยายพื้นที่จอดรถสำหรับยานพาหนะที่มาถึงสถานีวินิจฉัยจะต้องขึ้นอยู่กับการประเมินความเสียหายทางเศรษฐกิจที่เกิดจากการสูญเสียลูกค้าเมื่อมีที่จอดรถสำหรับยานพาหนะเหล่านี้เพียงสามช่อง

QS หลายช่องทางพร้อมคิวไม่จำกัด

ลองพิจารณาปัญหา มี QS แบบ n-channel พร้อมคิวไม่จำกัด โฟลว์ของคำขอที่มาถึง QS มีความเข้มข้น γ และโฟลว์การบริการมีความเข้มข้น μ มีความจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ QS และตัวชี้วัดประสิทธิผล

ระบบสามารถอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - กำหนดหมายเลขตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS: S 0 - ไม่มีแอปพลิเคชันใน ระบบ (ฟรีทุกช่อง) ; S 1 - ใช้งานช่องเดียวส่วนที่เหลือว่าง S 2 - สองช่องไม่ว่างส่วนที่เหลือว่าง..., ช่อง S k - k ไม่ว่างส่วนที่เหลือว่าง..., S n - ช่องทั้งหมด n ไม่ว่าง (ไม่มีคิว); S n+1 - n ช่องทั้งหมดไม่ว่าง มีหนึ่งคำขอในคิว;..., S n+r - ทั้งหมดไม่ว่าง nช่อง รใบสมัครอยู่ในสาย...

กราฟสถานะระบบจะแสดงในรูป 9. โปรดทราบว่าไม่เหมือนกับ QS ก่อนหน้านี้ ความเข้มข้นของกระแสการบริการ (การถ่ายโอนระบบจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งจากขวาไปซ้าย) จะไม่คงที่ และเมื่อจำนวนคำขอใน QS เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น n จะเพิ่มขึ้นจาก m เป็น nm เนื่องจากจำนวนช่องทางบริการเพิ่มขึ้นตามลำดับ เมื่อจำนวนคำขอใน QS มากกว่า n ความเข้มข้นของโฟลว์บริการจะยังคงเท่ากับ nm

จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว
, (50)
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ
ระบบ L =L และ +ρ, (51)
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว และเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบเช่นเดิม จะพบได้โดยใช้สูตรของ Little (42) และ (41)
ความคิดเห็นสำหรับ QS ที่มีคิวไม่จำกัดที่ r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность ถาม=1 และความจุสัมบูรณ์เท่ากับความเข้ม การไหลเข้าแอปพลิเคชันเช่น ก=ล.

QS ที่มีคิวจำกัด

QS ที่มีคิวจำกัดคิวที่มีคิวจำกัดแตกต่างจากปัญหาที่พิจารณาข้างต้นเฉพาะในกรณีที่จำนวนแอปพลิเคชันในคิวถูกจำกัด (ต้องไม่เกินจำนวนที่ระบุ ต)หากคำขอใหม่มาถึงในเวลาที่สถานที่ทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง คำขอดังกล่าวจะปล่อยให้ QS ไม่ถูกให้บริการ กล่าวคือ ได้รับการปฏิเสธ
เห็นได้ชัดว่า: ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จำกัดของสถานะและตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพของ QS ดังกล่าว สามารถใช้วิธีการเดียวกันกับข้างต้นได้ โดยมีความแตกต่างที่จำเป็นต้องสรุปไม่ใช่ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุด (เช่น เราทำเมื่อได้รับสูตร ( 33)) แต่เป็นสิ่งที่มีขอบเขต
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิวและในระบบเช่นเดิมจะถูกกำหนดโดยสูตรของ Little (44) และ (43)
QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัดในทางปฏิบัติ QMS มักพบกับคำขอที่เรียกว่า "ใจร้อน" แอปพลิเคชันดังกล่าวอาจออกจากคิวหากเวลารอเกินค่าที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำขอประเภทนี้เกิดขึ้นในระบบเทคโนโลยีต่างๆ ซึ่งความล่าช้าในการเริ่มให้บริการอาจนำไปสู่การสูญเสียคุณภาพผลิตภัณฑ์ ในระบบการจัดการการปฏิบัติงาน เมื่อข้อความเร่งด่วนสูญเสียคุณค่า (หรือแม้แต่ความหมาย) หากไม่ได้รับ เพื่อให้บริการภายในระยะเวลาที่กำหนด

ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดของระบบดังกล่าว สันนิษฐานว่าคำขอสามารถยังคงอยู่ในคิวเป็นเวลาสุ่ม โดยกระจายตามกฎเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์บางตัว υ เช่น เราสามารถสันนิษฐานได้ตามเงื่อนไขว่าแต่ละคำขอที่ยืนอยู่ในคิวเพื่อรับบริการสามารถออกจากระบบได้อย่างเข้มข้น υ
ตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพ QS แบบจำกัดเวลาที่สอดคล้องกันนั้นได้มาจากผลลัพธ์ที่ได้รับสำหรับกระบวนการตายและการสืบพันธุ์

โดยสรุป เราทราบว่าในทางปฏิบัติมักจะมีระบบบริการแบบปิดซึ่งกระแสแอปพลิเคชันขาเข้าขึ้นอยู่กับสถานะของ QS อย่างมาก ตัวอย่างเช่น เราสามารถอ้างอิงสถานการณ์ที่เครื่องจักรบางเครื่องถูกส่งไปยังฐานซ่อมจากสถานที่ปฏิบัติการ: เป็นที่ชัดเจนว่ายิ่งเครื่องจักรอยู่ในสถานะซ่อมแซมมากเท่าไร เครื่องยังคงใช้งานน้อยลงและมีความเข้มข้นน้อยลงเท่านั้น การไหลของเครื่องจักรที่เพิ่งเข้ามาซ่อม QS แบบปิดมีลักษณะเป็นแหล่งที่มาของคำขอจำนวนจำกัด และแต่ละแหล่งที่มาจะถูก "บล็อก" ในขณะที่คำขอกำลังได้รับการตอบสนอง (กล่าวคือ จะไม่ออกคำขอใหม่) ในระบบดังกล่าว ด้วยสถานะ QS ที่จำกัด ความน่าจะเป็นที่จำกัดจะมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ก็ตามของความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชันและการบริการ สามารถคำนวณได้โดยการทบทวนกระบวนการตายและการสืบพันธุ์อีกครั้ง

ลองพิจารณา QS ที่ง่ายที่สุดด้วยการรอ - ระบบช่องทางเดียวที่รับคำขออย่างเข้มข้น ความเข้มข้นของการบริการ (เช่น โดยเฉลี่ยแล้ว ช่องสัญญาณที่ไม่ว่างอย่างต่อเนื่องจะออกคำขอบริการต่อหน่วย (เวลา) คำขอที่ได้รับในเวลาที่ช่องไม่ว่างจะถูกเข้าคิวและรอการบริการ

ระบบที่มีความยาวคิวจำกัด ก่อนอื่น ให้เราถือว่าจำนวนตำแหน่งในคิวถูกจำกัดด้วยจำนวน กล่าวคือ หากแอปพลิเคชันมาถึงในเวลาที่มีแอปพลิเคชันอยู่ในคิวอยู่แล้ว ระบบจะปล่อยให้ระบบไม่ทำงาน ในอนาคต ด้วยความเร่งรีบไปสู่อนันต์ เราจะได้รับคุณลักษณะของ QS ช่องทางเดียวโดยไม่มีการจำกัดความยาวของคิว

เราจะกำหนดหมายเลขสถานะของ QS ตามจำนวนแอปพลิเคชันในระบบ (ทั้งที่กำลังให้บริการและกำลังรอให้บริการ):

ช่องนี้ฟรี

ช่องไม่ว่างไม่มีคิว

ช่องสัญญาณไม่ว่าง แอปพลิเคชันหนึ่งอยู่ในคิว

ช่องไม่ว่าง แอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ช่องไม่ว่าง ใบสมัครเข้าคิวเพียบ

GSP จะแสดงในรูป 5.8. ความเข้มของกระแสเหตุการณ์ทั้งหมดที่เคลื่อนเข้าสู่ระบบตามลูกศรจากซ้ายไปขวามีค่าเท่ากัน และจากขวาไปซ้าย - . แท้จริงแล้ว กระแสคำขอจะย้ายระบบไปตามลูกศรจากซ้ายไปขวา (ทันทีที่คำขอมาถึง ระบบจะไปยังสถานะถัดไป) ในขณะที่จากขวาไปซ้ายจะมีการไหลของ "การเผยแพร่" ของช่องทางที่ไม่ว่าง ซึ่งมีความเข้มข้น (ทันทีที่มีการให้บริการคำขอถัดไป ช่องสัญญาณจะว่างหรือลดจำนวนแอปพลิเคชันในคิว)

ข้าว. 5.8. QS ช่องทางเดียวพร้อมการรอคอย

แสดงในรูปที่. 5.8 แผนภาพ เป็นแผนภาพของการสืบพันธุ์และการตาย การใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป (5.32)-(5.34) เราเขียนนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่จำกัดของสถานะ (ดู (5.40) เพิ่มเติม):

หรือใช้:

บรรทัดสุดท้ายใน (5.45) มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเทอมแรก 1 และตัวส่วน p เราได้รับ:

ที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่จำกัดอยู่ในรูปแบบ:

นิพจน์ (5.46) ใช้ได้เฉพาะ for (เนื่องจากให้ความแน่นอนของ form ) ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเท่ากับ และในกรณีนี้

ให้เราพิจารณาคุณลักษณะของ QS: ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ปริมาณงานสัมพัทธ์ ปริมาณงานสัมบูรณ์ ความยาวคิวเฉลี่ย จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับระบบ เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว เวลาเฉลี่ยที่ใช้ใน QS

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว แน่นอนว่าแอปพลิเคชันจะถูกปฏิเสธเฉพาะในกรณีที่ช่องไม่ว่างและสถานที่ทั้งหมดในคิวก็ไม่ว่างเช่นกัน:

แบนด์วิธสัมพัทธ์:

ปริมาณงานสัมบูรณ์:

ความยาวคิวเฉลี่ย ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง - จำนวนแอปพลิเคชันในคิว:

ด้วยความน่าจะเป็นที่มีแอปพลิเคชันหนึ่งรายการอยู่ในคิว โดยมีความน่าจะเป็นที่มีแอปพลิเคชันสองรายการ โดยทั่วไปมีความน่าจะเป็นที่มีแอปพลิเคชันอยู่ในคิว ฯลฯ จากที่:

เนื่องจาก ผลรวมใน (5.50) สามารถตีความได้ว่าเป็นอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

แทนที่นิพจน์นี้เป็น (5.50) และใช้จาก (5.47) ในที่สุดเราก็จะได้:

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ ต่อไป เราจะได้สูตรสำหรับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับระบบ (ทั้งที่ยืนอยู่ในคิวและที่กำลังให้บริการ) เนื่องจากทราบจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยภายใต้บริการ โดยที่ จึงยังคงต้องพิจารณา เนื่องจากมีเพียงช่องทางเดียว จำนวนคำขอที่ได้รับบริการจึงสามารถเท่ากับ (ด้วยความน่าจะเป็น ) หรือ 1 (ด้วยความน่าจะเป็น ) โดยที่:

และจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับ QS คือ

เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว เรามาแสดงกันเถอะ ; หากมีการร้องขอเข้าสู่ระบบ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ก็เป็นไปได้ว่าช่องทางบริการจะไม่ยุ่ง และไม่ต้องรอคิว (เวลารอเป็นศูนย์) เป็นไปได้มากว่าเธอจะเข้ามาในระบบในขณะที่บางคำขอกำลังให้บริการ แต่จะไม่มีคิวอยู่ข้างหน้าเธอ และคำขอจะรอเพื่อเริ่มให้บริการในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (เวลาเฉลี่ยในการให้บริการ) ขอ). มีความเป็นไปได้ที่จะมีแอปพลิเคชันอื่นอยู่ในคิวก่อนที่แอปพลิเคชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และเวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับ เป็นต้น

หากเช่น เมื่อคำขอที่มาถึงใหม่พบว่าช่องทางบริการไม่ว่างและแอปพลิเคชันอยู่ในคิว (ความน่าจะเป็น) ในกรณีนี้ คำขอจะไม่เข้าสู่คิว (และไม่ได้ให้บริการ) ดังนั้นเวลารอจึงเป็นศูนย์ . เวลารอโดยเฉลี่ยจะเป็น:

ถ้าเราแทนที่นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็น (5.47) ที่นี่ เราจะได้:

ในที่นี้เราใช้ความสัมพันธ์ (5.50), (5.51) (อนุพันธ์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) และจาก (5.47) เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับ (5.51) เราทราบว่าอีกนัยหนึ่ง เวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวหารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน

เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ ให้เราแสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - เวลาที่คำขอยังคงอยู่ใน QS ซึ่งเป็นผลรวมของเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาให้บริการโดยเฉลี่ย หากโหลดของระบบเป็น 100% ก็เป็นอย่างอื่นอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 5.6ปั๊มน้ำมัน (ปั๊มน้ำมัน) คือสถานีบริการที่มีช่องทางบริการเดียว (หนึ่งคอลัมน์)

พื้นที่บริเวณสถานีอนุญาตให้มีรถเข้าแถวเติมน้ำมันได้ไม่เกิน 3 คันในเวลาเดียวกัน หากมีรถเข้าคิวอยู่แล้ว 3 คัน รถคันถัดไปที่มาถึงสถานีจะไม่เข้าร่วมคิว ปริมาณรถยนต์ที่เข้ามาเติมน้ำมันมีความเข้มข้น (คันต่อนาที) กระบวนการเติมเชื้อเพลิงใช้เวลาเฉลี่ย 1.25 นาที

กำหนด:

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว

ความจุสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของสถานีบริการน้ำมัน

จำนวนรถยนต์เฉลี่ยที่รอเติมน้ำมัน

จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน (รวมรถยนต์ที่ให้บริการ)

เวลารอรถโดยเฉลี่ยในคิว

เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน (รวมบริการ)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว หารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน

ก่อนอื่นเราจะพบความเข้มข้นที่ลดลงของโฟลว์ของแอปพลิเคชัน:

ตามสูตร (5.47):

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว

ความจุสัมพัทธ์ของ QS

ปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS

รถยนต์ต่อนาที

เราหาจำนวนรถยนต์เฉลี่ยในคิวโดยใช้สูตร (5.51)

กล่าวคือจำนวนรถยนต์ที่เข้าแถวเพื่อเติมน้ำมันโดยเฉลี่ยคือ 1.56

เมื่อรวมกับจำนวนยานพาหนะเฉลี่ยที่ใช้บริการแล้ว

เราจะได้จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับปั๊มน้ำมัน

ระยะเวลารอเฉลี่ยรถเข้าคิวตามสูตร (5.54)

นอกเหนือจากค่านี้แล้ว เราจะได้เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน:

ระบบรอไม่จำกัด- ในระบบดังกล่าว ค่าของ m ไม่ถูกจำกัด ดังนั้น คุณสมบัติหลักสามารถรับได้โดยการส่งผ่านไปยังขีดจำกัดในนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ (5.44), (5.45) เป็นต้น

โปรดทราบว่าตัวส่วนในสูตรสุดท้าย (5.45) คือผลรวมของเทอมที่เป็นจำนวนอนันต์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมนี้มาบรรจบกันเมื่อความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด กล่าวคือ เมื่อ

สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีเงื่อนไขภายใต้โหมดสภาวะคงตัวแบบจำกัดที่มีอยู่ใน QS โดยต้องรอ มิฉะนั้นโหมดดังกล่าวจะไม่มีอยู่ และคิวที่ จะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ดังนั้น ต่อไปนี้จึงสันนิษฐานว่า

ถ้า ดังนั้นความสัมพันธ์ (5.47) จะอยู่ในรูปแบบ:

หากไม่มีข้อจำกัดเรื่องความยาวของคิว แต่ละ Application ที่เข้ามาในระบบจะได้รับการบริการ ดังนั้น

เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวจาก (5.51) ที่:

จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบตามสูตร (5.52) ด้วย

เราได้เวลารอคอยโดยเฉลี่ยจากสูตร

(5.53) เมื่อ:

สุดท้ายนี้ เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ใน QS คือ

QS หลายช่องทางพร้อมการรอคอย

ระบบที่มีความยาวคิวจำกัด- ลองพิจารณาช่อง QS ที่มีการรอคอย ซึ่งได้รับคำขอจำนวนมากอย่างเข้มข้น ความเข้มข้นของการบริการ (สำหรับหนึ่งช่องทาง) จำนวนสถานที่ในคิว

สถานะของระบบจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนคำขอที่เกี่ยวข้องกับระบบ:

ไม่มีคิว:

ทุกช่องฟรี;

ช่องหนึ่งถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ

ช่องไม่ว่าง ช่องที่เหลือไม่ว่าง

ทุกช่องถูกครอบครองไม่มีช่องฟรี

มีคิว:

n ช่องทั้งหมดไม่ว่าง แอปพลิเคชันหนึ่งอยู่ในคิว

n ช่องทั้งหมดไม่ว่าง แอปพลิเคชัน r อยู่ในคิว

n ช่องทั้งหมดไม่ว่าง แอปพลิเคชัน r อยู่ในคิว

GSP แสดงในรูป 5.9. ลูกศรแต่ละอันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยความเข้มของโฟลว์เหตุการณ์ที่สอดคล้องกัน ตามลูกศรจากซ้ายไปขวา ระบบจะถูกถ่ายโอนตามโฟลว์คำขอเดียวกันที่มีความเข้มข้นเป็นเสมอ

ข้าว. 5.9. QS หลายช่องทางพร้อมการรอคอย

กราฟนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับกระบวนการสืบพันธุ์และการตายซึ่งได้รับสารละลายก่อนหน้านี้ (5.29)-(5.33) เรามาเขียนนิพจน์เพื่อหาความน่าจะเป็นจำกัดของรัฐโดยใช้สัญลักษณ์: (ในที่นี้เราใช้นิพจน์สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน)

ดังนั้นจึงพบความน่าจะเป็นของรัฐทั้งหมด

ให้เราพิจารณาลักษณะของประสิทธิภาพของระบบ

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว แอปพลิเคชันที่ได้รับจะถูกปฏิเสธหากช่องทั้งหมดและสถานที่ทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง:

ปริมาณงานสัมพัทธ์ช่วยเสริมความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเป็น:

ปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS:

จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย สำหรับ QS ที่มีการปฏิเสธจะใกล้เคียงกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ สำหรับ QS ที่มีคิว จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ยไม่ตรงกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ: ค่าหลังแตกต่างจากค่าแรกด้วยจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว

ให้เราแสดงจำนวนช่องที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยด้วย แต่ละช่องทางที่ไม่ว่างจะให้บริการคำขอโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา และ QS โดยรวมจะให้บริการคำขอโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา เมื่อหารกันเราจะได้:

จำนวนคำขอเฉลี่ยในคิวสามารถคำนวณได้โดยตรงตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

อีกครั้ง (นิพจน์ในวงเล็บ) อนุพันธ์ของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกิดขึ้น (ดูด้านบน (5.50), (5.51)-(5.53)) โดยใช้ความสัมพันธ์สำหรับมัน เราได้:

จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ:

เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว ลองพิจารณาสถานการณ์ต่างๆ ที่แตกต่างกันในสถานะที่คำขอที่เพิ่งมาถึงจะค้นหาระบบ และระยะเวลาที่ต้องรอเพื่อรับบริการ

หากคำขอไม่พบทุกช่องที่ไม่ว่าง ก็ไม่จำเป็นต้องรอเลย (เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องในความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับศูนย์) หากคำขอมาถึงในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างและไม่มีคิว จะต้องรอโดยเฉลี่ยเวลาเท่ากับ (เนื่องจาก "กระแสการเผยแพร่" ของช่องมีความเข้มข้นที่ ) หากแอปพลิเคชันพบว่าทุกช่องไม่ว่างและมีแอปพลิเคชันหนึ่งตัวอยู่ข้างหน้าในคิว จะต้องรอโดยเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง (สำหรับแต่ละแอปพลิเคชันที่อยู่ข้างหน้า) เป็นต้น หากแอปพลิเคชันพบว่าตัวเองอยู่ในคิวของแอปพลิเคชัน ก็ต้องรอโดยเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง หากแอปพลิเคชันที่เพิ่งมาถึงพบแอปพลิเคชันในคิวอยู่แล้ว แอปพลิเคชันนั้นจะไม่รอเลย (แต่จะไม่ได้รับบริการ) เราค้นหาเวลารอโดยเฉลี่ยโดยการคูณแต่ละค่าเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

เช่นเดียวกับในกรณีของ QS ช่องทางเดียวที่มีการรอ โปรดทราบว่านิพจน์นี้แตกต่างจากนิพจน์สำหรับความยาวคิวเฉลี่ย (5.59) โดยปัจจัยเท่านั้น เช่น

เวลาเฉลี่ยที่คำขอยังคงอยู่ในระบบ เช่นเดียวกับ QS ช่องทางเดียว แตกต่างจากเวลารอโดยเฉลี่ยตามเวลาบริการเฉลี่ยคูณด้วยปริมาณงานสัมพัทธ์:

ระบบที่มีความยาวคิวไม่จำกัด- เราถือว่า QS ของช่องทางที่มีการรอ เมื่อคำขอไม่เกินคิวสามารถอยู่ในคิวได้ในเวลาเดียวกัน

เช่นเดียวกับเมื่อก่อน เมื่อวิเคราะห์ระบบโดยไม่มีข้อจำกัด จำเป็นต้องพิจารณาความสัมพันธ์ที่ได้รับสำหรับ

เราได้รับความน่าจะเป็นของสถานะจากสูตร (5.56) โดยส่งผ่านไปยังขีดจำกัด (at) โปรดทราบว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันมาบรรจบกันที่ และแตกต่างที่ สมมติว่าและกำหนดทิศทางของค่า m ไปยังอนันต์ในสูตร (5.56) เราจะได้นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่จำกัดของสถานะ:

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ เนื่องจากแต่ละคำขอจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว คุณลักษณะของปริมาณงาน QS จะเป็น:

เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวตั้งแต่ (5.59):

และระยะเวลารอคอยโดยเฉลี่ยอยู่ที่ (5.60):

จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยเช่นเดิมถูกกำหนดผ่านปริมาณงานสัมบูรณ์:

จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับ QS ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว บวกกับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันภายใต้บริการ (จำนวนเฉลี่ยของช่องสัญญาณที่ไม่ว่าง):

ตัวอย่างที่ 5.7ปั๊มน้ำมันที่มีปั๊มสองตัว () ให้บริการการไหลของรถด้วยความเข้มข้น (คันต่อนาที) ระยะเวลาการให้บริการเฉลี่ยต่อเครื่อง

ในพื้นที่ไม่มีปั๊มน้ำมันอื่น ดังนั้น แถวรถหน้าปั๊มสามารถเติบโตได้แทบไร้ขีดจำกัด ค้นหาคุณลักษณะของ QS

เนื่องจาก คิวจะไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะพูดคุยเกี่ยวกับโหมดการทำงานแบบหยุดนิ่งที่จำกัดของ QS การใช้สูตร (5.61) เราค้นหาความน่าจะเป็นของสถานะ:

เราจะค้นหาจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยโดยการหารปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS ด้วยความเข้มข้นของบริการ:

ความน่าจะเป็นของการไม่มีคิวที่ปั๊มน้ำมันจะเป็นดังนี้:

จำนวนรถเฉลี่ยต่อคิว:

จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน:

เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว:

เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน:

QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด ก่อนหน้านี้ เราพิจารณาระบบที่มีการรอซึ่งจำกัดด้วยความยาวของคิวเท่านั้น (จำนวนแอปพลิเคชันพร้อมกันในคิว) ใน QS ดังกล่าว แอปพลิเคชันเมื่ออยู่ในคิวแล้ว จะไม่ปล่อยไว้จนกว่าจะรอรับบริการ ในทางปฏิบัติ ยังมี QS ประเภทอื่นๆ ที่แอปพลิเคชันสามารถออกจากคิวได้หลังจากรอสักระยะหนึ่ง (เรียกว่าแอปพลิเคชัน "ใจร้อน")

ลองพิจารณา QS ประเภทนี้ โดยสมมติว่าข้อจำกัดด้านเวลารอเป็นตัวแปรสุ่ม

สมมติว่ามีช่อง QS ที่มีการรอ ซึ่งไม่จำกัดจำนวนตำแหน่งในคิว แต่เวลาที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิวนั้นเป็นตัวแปรสุ่มบางตัวที่มีค่าเฉลี่ย ดังนั้นสำหรับแต่ละแอปพลิเคชันที่ยืนอยู่ คิวมี "กระแสการออกเดินทาง" ของปัวซอง » ด้วยความเข้มข้นของแอปพลิเคชันพวกเขายืนเข้าแถว ฯลฯ

กราฟสถานะและการเปลี่ยนแปลงของระบบจะแสดงในรูป 5.10.

ข้าว. 5.10. QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด

เรามาทำเครื่องหมายกราฟนี้เหมือนเดิม ลูกศรทั้งหมดที่ชี้จากซ้ายไปขวาจะบ่งบอกถึงความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชัน สำหรับรัฐที่ไม่มีคิว ลูกศรที่นำทางจากขวาไปซ้ายจะระบุความเข้มข้นรวมของการไหลที่ให้บริการช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองทั้งหมดเช่นเดิม สำหรับรัฐที่มีคิว ลูกศรที่นำจากขวาไปซ้ายจะมีความเข้มข้นรวมของกระแสการบริการของทุกช่องทาง บวกกับความเข้มข้นที่สอดคล้องกันของกระแสการออกจากคิว หากมีการสมัครเข้าคิว ความแรงรวมของกระแสการออกเดินทางจะเท่ากับ

ดังที่เห็นได้จากกราฟจะมีรูปแบบการสืบพันธุ์และการตาย การใช้นิพจน์ทั่วไปสำหรับการจำกัดความน่าจะเป็นของรัฐในโครงการนี้ (โดยใช้สัญกรณ์แบบย่อ) เราเขียน:

ให้เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของ QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด เมื่อเปรียบเทียบกับ QS ที่พิจารณาก่อนหน้านี้ที่มีคำขอ "ผู้ป่วย"

หากความยาวของคิวไม่ จำกัด และคำขอเป็น "ผู้ป่วย" (อย่าออกจากคิว) ดังนั้นระบอบการจำกัดแบบคงที่มีอยู่เฉพาะในกรณีเท่านั้น (ที่ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ที่สอดคล้องกันแยกออกซึ่งสอดคล้องกับทางกายภาพกับการเติบโตที่ไม่ จำกัด ของคิวที่ )

ในทางตรงกันข้าม ใน QS ที่มีลูกค้าที่ "ใจร้อน" ออกจากคิวไม่ช้าก็เร็ว โหมดการบริการที่กำหนดไว้จะบรรลุผลเสมอ โดยไม่คำนึงถึงความเข้มข้นของกระแสลูกค้าที่ลดลง โดยไม่ต้องรวมชุดอนันต์ (5.63) จาก (5.64) เราได้รับ:

และจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยที่รวมอยู่ในสูตรนี้สามารถพบได้เป็นค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่รับค่าที่มีความน่าจะเป็น:

โดยสรุป เราสังเกตว่าหากในสูตร (5.62) เราไปถึงขีด จำกัด ที่ (หรือเหมือนกันที่ ) จากนั้นที่เราได้รับสูตร (5.61) นั่นคือแอปพลิเคชัน "ใจร้อน" จะกลายเป็น "ผู้ป่วย"

ลองพิจารณา QS แบบหลายช่องสัญญาณ ซึ่งอินพุตจะได้รับโฟลว์ปัวซองของคำขอที่มีความเข้มข้น และความเข้มข้นของการบริการของแต่ละช่องคือ จำนวนตำแหน่งสูงสุดที่เป็นไปได้ในคิวถูกจำกัดด้วย m สถานะแยกของ QS จะกำหนดโดยจำนวนแอปพลิเคชันที่ระบบได้รับซึ่งสามารถบันทึกได้

ทุกช่องรับชมได้ฟรี

มีเพียงช่องเดียว (ใด ๆ ) ที่ถูกครอบครอง

• - มีเพียงสองช่องเท่านั้น (มี) ที่ถูกครอบครอง
• - ทุกช่องไม่ว่าง

แม้ว่า QS จะอยู่ในสถานะเหล่านี้ แต่ก็ไม่มีคิว หลังจากที่ช่องบริการทั้งหมดถูกครอบครองแล้ว คำขอที่ตามมาจะก่อตัวเป็นคิว ดังนั้นจึงกำหนดสถานะเพิ่มเติมของระบบ:

ทุกช่องไม่ว่างและมีแอปพลิเคชั่นหนึ่งอยู่ในคิว

ทุกช่องไม่ว่างและมีคำขอสองรายการอยู่ในคิว

ทุกช่องและทุกสถานที่ในคิวถูกครอบครอง

การเปลี่ยนผ่านของ QS ไปสู่สถานะที่มีจำนวนมากจะถูกกำหนดโดยโฟลว์ของคำขอขาเข้าที่มีความเข้มข้น ในขณะที่ตามเงื่อนไข ช่องทางที่เหมือนกันซึ่งมีความเข้มข้นของโฟลว์บริการเท่ากันสำหรับแต่ละช่องทางจะมีส่วนร่วมในการให้บริการตามคำขอเหล่านี้ ในกรณีนี้ ความเข้มข้นรวมของโฟลว์บริการจะเพิ่มขึ้นเมื่อมีการเชื่อมต่อช่องสัญญาณใหม่จนถึงสถานะหนึ่งเมื่อช่องทั้งหมด n ช่องไม่ว่าง เมื่อการปรากฏตัวของคิว ความเข้มข้นของบริการจะเพิ่มขึ้นอีก เนื่องจากถึงค่าสูงสุดที่เท่ากับแล้ว

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ:

นิพจน์สำหรับ สามารถแปลงได้โดยใช้สูตรความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับผลรวมของพจน์ที่มีตัวส่วน:

การก่อตัวของคิวเป็นไปได้เมื่อแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่พบข้อกำหนดอย่างน้อยในระบบ เช่น เมื่อมีข้อกำหนดในระบบ

เหตุการณ์เหล่านี้มีความเป็นอิสระ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทุกช่องสัญญาณไม่ว่างจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นความน่าจะเป็นของการเกิดคิวคือ:

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการบริการเกิดขึ้นเมื่อทุกช่องทางและสถานที่ทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง:

ปริมาณงานสัมพัทธ์จะเท่ากับ:

ปริมาณงานสัมบูรณ์ -

จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างเฉลี่ย -

จำนวนช่องที่ไม่ได้ใช้งานเฉลี่ย -

ปัจจัยการใช้ช่องทาง (ใช้) -

อัตราส่วนการหยุดทำงานของช่อง -

จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว -

หากสูตรนี้มีรูปแบบอื่น -

ระยะเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวถูกกำหนดโดยสูตรของลิตเติ้ล -

พิจารณา QS แบบหลายช่องทาง (หน้า> 1) อินพุตที่ได้รับโฟลว์ปัวซองของคำขอที่มีความเข้มข้นและความเข้มข้นของการบริการของแต่ละช่องคือ p จำนวนตำแหน่งสูงสุดที่เป็นไปได้ในคิวจะถูกจำกัดด้วยค่า ต.สถานะแยกของ QS จะกำหนดโดยจำนวนแอปพลิเคชันที่ระบบได้รับ ซึ่งสามารถเขียนลงไปได้:

Sq - ทุกช่องฟรี เค = 0;

ส-มีเพียงช่องเดียวเท่านั้นที่ถูกครอบครอง (มี) เค = 1;

*5*2 - มีเพียงสองช่องเท่านั้น (มี) ที่ถูกครอบครอง เค = 2;

ส- ทุกคนมีงานยุ่ง nช่อง เค = พี

แม้ว่า QS จะอยู่ในสถานะเหล่านี้ แต่ก็ไม่มีคิว หลังจากที่ช่องบริการทั้งหมดถูกครอบครองแล้ว คำขอที่ตามมาจะก่อตัวเป็นคิว ดังนั้นจึงกำหนดสถานะเพิ่มเติมของระบบ:

ส น + -ทุกคนมีงานยุ่ง nช่องทางและแอปพลิเคชั่นหนึ่งอยู่ในคิว เค = n + 1;

ส n +2 - ทุกคนไม่ว่าง nช่องทางและสองแอปพลิเคชั่นอยู่ในคิว เค = n + 2;

ส แอนด์+ม -ทุกคนมีงานยุ่ง nเชือกและทุกสิ่ง ตสถานที่ในแถว k = n + ม.

กราฟสถานะและช่องสัญญาณ เอสเอ็มโอกับ คิว,จำกัด ตในบางสถานที่ ดังแสดงในรูปที่. 5.18.

การเปลี่ยนผ่าน QS ไปสู่สถานะที่มีจำนวนมากนั้นพิจารณาจากกระแสคำขอที่เข้ามาอย่างเข้มข้น

ข้าว. 5.18

โดยที่ตามเงื่อนไข พวกเขามีส่วนร่วมในการให้บริการตามคำขอเหล่านี้ nช่องสัญญาณที่เหมือนกันซึ่งมีความเข้มข้นของการไหลของบริการเท่ากับ p สำหรับแต่ละช่อง ในกรณีนี้ ความเข้มข้นรวมของกระแสบริการจะเพิ่มขึ้นเมื่อมีการเชื่อมต่อช่องสัญญาณใหม่จนถึงสถานะนี้ ส,เมื่อทุกอย่าง nช่องจะยุ่ง เมื่อการปรากฏตัวของคิว ความเข้มข้นของการบริการจะไม่เพิ่มขึ้นอีกต่อไป เนื่องจากถึงค่าสูงสุดที่เท่ากับแล้ว ปริญญาเอก

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ

นิพจน์สำหรับ rho สามารถแปลงได้โดยใช้สูตรความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับผลรวมของพจน์ที่มีตัวส่วน p /ไม่มี:

การก่อตัวของคิวเป็นไปได้เมื่อแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่พบในระบบเป็นอย่างน้อย nข้อกำหนดเช่น เมื่อระบบจะเป็น พี พี + 1, n + 2, (หน้า + ต- 1) ข้อกำหนด เหตุการณ์เหล่านี้มีความเป็นอิสระ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทุกช่องสัญญาณไม่ว่างจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ใช่ Rp+bPp+2 > ->฿+t- 1- ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการสร้างคิวคือ

ความเป็นไปได้ของการปฏิเสธการให้บริการเกิดขึ้นเมื่อทั้งหมด nช่องทางและทุกสิ่ง ตสถานที่ในแถวเต็มแล้ว

ปริมาณงานสัมพัทธ์จะเท่ากับ

ปริมาณงานที่แน่นอน

จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย

จำนวนช่องที่ไม่ได้ใช้งานโดยเฉลี่ย

ปัจจัยการใช้ช่องทาง (การใช้งาน)

อัตราส่วนการหยุดทำงานของช่อง

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว

ในกรณี ร/พี = 1 สูตรนี้มีรูปแบบอื่น:

ระยะเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวถูกกำหนดโดยสูตรของลิตเติ้ล

เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ใน QS สำหรับ QS ช่องทางเดียวนั้นมากกว่าเวลาเฉลี่ยในการรอในคิวตามเวลาบริการเฉลี่ยเท่ากับ 1/p เนื่องจากแอปพลิเคชันจะให้บริการโดยช่องทางเดียวเท่านั้น:

ตัวอย่างที่ 5.21 มินิมาร์ทได้รับกระแสลูกค้าจำนวน 6 รายต่อนาที โดยแคชเชียร์ 3 รายจะให้บริการลูกค้าจำนวน 2 รายต่อนาที ความยาวคิวจำกัดอยู่ที่ลูกค้าห้าคน กำหนดคุณลักษณะของ QS และประเมินผลการปฏิบัติงาน

สารละลาย

น= 3; ต = 5; เอ็กซ์ =6; พี = 2; พี =เอ็กซ์/เอ็กซ์ = 3; ร/พี = 1.

เราพบความน่าจะเป็นที่จำกัดของสถานะ QS:

ส่วนแบ่งการหยุดทำงานของพนักงานเก็บเงิน

ความน่าจะเป็นที่มีเพียงช่องเดียวเท่านั้นที่ถูกครอบครองในการให้บริการคือ

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองช่องจะถูกครอบครองพร้อมกับการบริการคือ

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสามช่องไม่ว่างคือ

ความน่าจะเป็นที่ทั้ง 3 ช่องและ 5 ตำแหน่งในคิวจะถูกครอบครองคือ

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการเกิดขึ้นเมื่อ เค = เสื้อ + n = = 5 + 3 = 8 และคือ р$ = р OTK = 0,127.

ความสามารถสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของ QS นั้นเท่ากันตามลำดับ ถาม = 1 - เปิดแล้ว= 0.873 และ ล = 0.873เอ = 5.24 (ลูกค้า/นาที)

จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างเฉลี่ยและ ความยาวเฉลี่ยคิวเท่ากัน:

เวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและอยู่ใน QS จะเท่ากับ:

ระบบการบริการของมินิมาร์ทสมควรได้รับการยกย่องอย่างสูง เนื่องจากความยาวเฉลี่ยของคิวและเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าใช้ในคิวนั้นมีน้อย

ตัวอย่างที่ 5.22 โดยเฉลี่ยแล้ว ยานพาหนะที่มีผลิตภัณฑ์ผักและผลไม้จะมาถึงคลังผักและผลไม้ทุกๆ 30 นาที เวลาเฉลี่ยในการขนถ่ายรถบรรทุกหนึ่งคันคือ 1.5 ชั่วโมง การขนถ่ายจะดำเนินการโดยทีมรถตักสองทีม ในอาณาเขตของฐาน ยานพาหนะไม่เกินสี่คันสามารถเข้าแถวที่จุดลงจอดเพื่อรอการขนถ่าย เราจะกำหนดตัวบ่งชี้และประเมินผลการปฏิบัติงานของ QS

สารละลาย

SMO สองช่องทาง n= 2 โดยมีจำนวนที่นั่งต่อแถวจำกัด ม= 4, ความเข้มของการไหลขาเข้า l = 2 av/h, ความเข้มข้นของการบริการ c = 2/3 av/h, ความเข้มของโหลด p = A./p = 3, ร/พี = 3/2 = 1,5.

เรากำหนดลักษณะของ QS:

ความน่าจะเป็นที่ลูกเรือทั้งหมดจะไม่บรรทุกเมื่อไม่มียานพาหนะคือ

ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวเมื่อมีรถสองคันอยู่ระหว่างการขนถ่ายและมีรถสี่คันอยู่ในคิวคือ

จำนวนรถเฉลี่ยต่อคิว

ส่วนแบ่งการหยุดทำงานของผู้โหลดมีน้อยมากและมีเพียง 1.58% ของเวลาทำงาน และความน่าจะเป็นของการปฏิเสธมีสูง - 36% ของใบสมัครที่ได้รับถูกปฏิเสธการขนถ่าย ทั้งสองทีมเกือบเต็มแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์การจ้างงานใกล้เคียงกับหนึ่ง และเท่ากับ 0.96 สัมพันธ์กับปริมาณงานต่ำ - เพียง 64% ของแอปพลิเคชันที่ได้รับเท่านั้นที่จะได้รับการบริการ ความยาวเฉลี่ยของคิวคือ 2.6 คัน ดังนั้น SM O ไม่สามารถรับมือกับการปฏิบัติตามคำร้องขอบริการได้และจำเป็นต้อง เพิ่มจำนวนทีมรถตักและใช้ประโยชน์จากความสามารถของขั้นตอนการลงจอดให้กว้างขึ้น

ตัวอย่างที่ 5.23 บริษัทการค้าได้รับผักในช่วงต้นจากโรงเรือนของฟาร์มของรัฐชานเมืองแบบสุ่มครั้งโดยมีความเข้มข้น 6 หน่วย ต่อวัน. ห้องเอนกประสงค์ อุปกรณ์ และทรัพยากรแรงงานช่วยให้เราสามารถประมวลผลและจัดเก็บผลิตภัณฑ์จำนวน 2 หน่วย บริษัทจ้างพนักงาน 4 คน โดยเฉลี่ยแต่ละคนสามารถดำเนินการส่งสินค้าได้ 1 ครั้งภายใน 4 ชั่วโมง ระยะเวลาการทำงานระหว่างทำงานกะคือ 12 ชั่วโมง ซึ่งควรจะเป็นความจุของคลังสินค้าจึงจะประมวลผลได้ครบถ้วน ของผลิตภัณฑ์จะต้องมีอย่างน้อย 97% ของจำนวนการส่งมอบที่เกิดขึ้น?

สารละลาย

มาแก้ไขปัญหาด้วยการกำหนดตัวบ่งชี้ QS ตามลำดับสำหรับค่าความจุที่แตกต่างกัน ต= 2, 3, 4, 5 เป็นต้น และการเปรียบเทียบในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณความน่าจะเป็นของการบริการด้วยค่าที่กำหนด ร 0 ()ซ = 0,97.

กำหนดความเข้มของภาระ:

เราค้นหาความน่าจะเป็นหรือเศษส่วนของเวลาของการหยุดทำงาน เสื้อ = 2:

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการ หรือสัดส่วนของแอปพลิเคชันที่สูญหาย

ความน่าจะเป็นของการบริการ หรือสัดส่วนของแอปพลิเคชันที่ให้บริการจากที่ได้รับคือ

เนื่องจากค่าที่ได้รับน้อยกว่าค่าที่ระบุคือ 0.97 เราจึงทำการคำนวณต่อไป ต= 3 สำหรับค่านี้ ตัวบ่งชี้สถานะ QS จะมีค่าต่างๆ

ความน่าจะเป็นของการบริการในกรณีนี้น้อยกว่าค่าที่ระบุ ดังนั้นเราจึงทำการคำนวณต่อไป เสื้อ = 4 ซึ่งตัวบ่งชี้สถานะมีค่าดังต่อไปนี้: พี$ = 0.12; รอทก์ = 0.028; โปเอฟซี = 0.972. ตอนนี้ค่าที่ได้รับของความน่าจะเป็นในการบริการเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา เนื่องจาก 0.972 > 0.97 ดังนั้น ความจุของคลังสินค้าจะต้องเพิ่มเป็นปริมาตร 4 หน่วย

เพื่อให้บรรลุความน่าจะเป็นในการบริการที่กำหนด คุณสามารถเลือกจำนวนคนที่เหมาะสมที่สุดในการแปรรูปผักด้วยวิธีเดียวกันโดยการคำนวณตัวบ่งชี้ QS ตามลำดับสำหรับ น= 3, 4, 5 ฯลฯ วิธีแก้ปัญหาการประนีประนอมสามารถพบได้โดยการเปรียบเทียบและเปรียบเทียบตัวเลือกต่างๆ สำหรับองค์กร CMO ที่เกี่ยวข้องกับต้นทุนที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มจำนวนพนักงานและการสร้างอุปกรณ์เทคโนโลยีพิเศษสำหรับการแปรรูปผักในองค์กรเชิงพาณิชย์

ดังนั้นการเข้าคิวแบบรวมกับ วิธีการทางเศรษฐกิจงานการตั้งค่าช่วยให้คุณสามารถวิเคราะห์ QS ที่มีอยู่ พัฒนาคำแนะนำสำหรับการปรับโครงสร้างองค์กรเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการดำเนินงาน และยังกำหนดตัวบ่งชี้ที่ดีที่สุดของ QS ที่สร้างขึ้นใหม่

ตัวอย่างที่ 5.24 โดยเฉลี่ยแล้ว มีรถเข้าร้านล้างรถเก้าคันต่อชั่วโมง แต่หากมีรถอยู่ในคิวอยู่แล้วสี่คัน ตามกฎแล้วลูกค้าที่เพิ่งมาถึงจะไม่เข้าร่วมคิว แต่ให้ขับรถผ่านไป เวลาล้างรถเฉลี่ยอยู่ที่ 20 นาที และล้างรถได้เพียง 2 แห่งเท่านั้น ราคาเฉลี่ยในการล้างรถคือ 70 รูเบิล กำหนดการสูญเสียรายได้โดยเฉลี่ยสำหรับการล้างรถในระหว่างวัน

สารละลาย

เอ็กซ์= 9 คัน/ชม.; = 20 นาที; พี = 2;ที = 4.

การหาความเข้มของโหลด การกำหนดเปอร์เซ็นต์การหยุดทำงานของการล้างรถ

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว

ความจุสัมพัทธ์เท่ากับความจุสัมบูรณ์ จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในคิว

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการ

เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว

เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ในการล้างรถ

ดังนั้น 34% ของแอปพลิเคชันจะไม่ได้รับบริการ การสูญเสียการทำงาน 12 ชั่วโมงในหนึ่งวันจะมีมูลค่าเฉลี่ย 2,570 รูเบิล (12*9* 0.34 70) เช่น 52% ของรายได้ทั้งหมดเพราะว่า เปิด = 0,52 พี 0 ^ ส

• ปริมาณงานสัมพัทธ์ หรือความน่าจะเป็นของการบริการ ปริมาณงานสัมบูรณ์ จำนวนเฉลี่ยของลูกเรือที่ถูกครอบครอง อัตราการเข้าพักของลูกเรือโหลด