สไลด์ 19

ลดลงอย่างน่าเบื่อบน R แกน Ox นั้นเป็นเส้นกำกับแนวนอนที่เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อบน R 8 สำหรับค่าจริงใด ๆ ของ x และ y; ก>0, ก≠1; ข>0, ข≠1. 7. เส้นกำกับ 6. Extrema 5. ความซ้ำซ้อน 4. คู่, คี่ 3. ช่วงสำหรับการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันกับเอกภาพ 2. ช่วงของค่าของฟังก์ชัน 1 ช่วงของคำจำกัดความของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ชนิดและวิธีการแก้ปัญหา ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลไม่มีค่าสุดขีด ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ (ฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป)

สไลด์ 20

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ภารกิจที่ 1 ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

สไลด์ 21

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ภารกิจที่ 2 กำหนดค่า

สไลด์ 22

อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ภารกิจที่ 3 กำหนดประเภทของฟังก์ชัน เพิ่มขึ้น ลดลง เพิ่มขึ้น ลดลง

สไลด์ 23

การแนะนำความรู้ใหม่

สไลด์ 24

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา คำจำกัดความของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด: ให้ a เป็นจำนวนบวกที่กำหนดไม่เท่ากับ 1 และ b เป็นจำนวนจริงที่กำหนด จากนั้นความไม่เท่าเทียมกัน ax>b (ax≥b) และขวาน

สไลด์ 25

อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ไข การแก้ไขอสมการเรียกว่าอะไร? วิธีแก้ของอสมการโดยไม่ทราบ x คือจำนวน x0 ซึ่งเมื่อแทนค่าอสมการแล้ว จะทำให้เกิดอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สไลด์ 26

อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา การแก้ไขอสมการหมายความว่าอย่างไร การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือแสดงให้เห็นว่าไม่มีเลย

สไลด์ 27

ลองพิจารณาตำแหน่งสัมพัทธ์ของกราฟของฟังก์ชัน y=ax, a>0, a≠1 และเส้นตรง y=b 0 0 1 0 1 x0 x0

สไลด์ 28

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ชนิดและวิธีการแก้ปัญหา สรุปข้อ 1: เมื่อ b≤0 เส้นตรง y=b จะไม่ตัดกราฟของฟังก์ชัน y=ax เนื่องจาก ตั้งอยู่ใต้เส้นโค้ง y=ax ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน ax>b(ax≥b) จึงเป็นที่น่าพอใจสำหรับ xR และขวานความไม่เท่าเทียมกัน

สไลด์ 29

สรุปหมายเลข 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ถ้า a>1 และ b > 0 ดังนั้นสำหรับแต่ละ x1 x0- ต่ำกว่าเส้นตรง y=b . 1 สำหรับ b> 0 เส้นตรง y = b ตัดกันกราฟของฟังก์ชัน y = ax ที่จุดเดียว โดยจุด Abscissa คือ x0 = logab

สไลด์ 30

สรุปหมายเลข 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ถ้า a>1 และ b > 0 ดังนั้นสำหรับแต่ละ x1 >x0 จุดที่สอดคล้องกันของกราฟของ ฟังก์ชัน y=ax จะอยู่เหนือเส้นตรง y=b และสำหรับ x2 0 แต่ละตัว เส้นตรง y = b จะตัดกราฟของฟังก์ชัน y = ax ที่จุดเดียว โดยจุด abscissa คือ x0 = logab x2

สไลด์ 31

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้

สไลด์ 32

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 1.1 คำตอบ: เพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ วิธีแก้ไข:

สไลด์ 33

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 1.2 วิธีแก้ปัญหา: คำตอบ: ลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

สไลด์ 34

อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 1.3 วิธีแก้ปัญหา: คำตอบ: เพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

สไลด์ 35

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 1) อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งลดให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ ตัวอย่างที่ 1 คำตอบ: วิธีแก้ปัญหา:

สไลด์ 36

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 1.4 วิธีแก้ปัญหา: เพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ คำตอบ:

สไลด์ 37

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ไขประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลลดลงเหลือเพียงตัวอย่างที่ง่ายที่สุดหมายเลข 2 เพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความคำตอบ: วิธีแก้ไข:

สไลด์ 38

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 2) อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล การลดอสมการกำลังสอง ตัวอย่าง ลองกลับไปที่ตัวแปร x เพิ่มขึ้นสำหรับ x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความ คำตอบ: วิธีแก้ไข:

สไลด์ 39

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 3) อสมการเอกซ์โปเนนเชียลที่เป็นเนื้อเดียวกันของระดับที่หนึ่งและสอง อสมการเอกซ์โปเนนเชียลที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีแรก ตัวอย่างหมายเลข 1 เพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด คำตอบ: วิธีแก้ไข:

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลประเภทและวิธีการแก้ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 4) อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลการลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลตัวอย่างลองกลับไปที่ตัวแปร x เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ คำตอบ: วิธีแก้ไข:

สไลด์ 43

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 5) อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ไม่ได้มาตรฐาน ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา: ลองแก้แต่ละคำสั่งของเซตแยกกัน ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับผลรวม

สไลด์ 44

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ประเภทและวิธีการแก้ ประเภทของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีการแก้ไข 5) อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ไม่ได้มาตรฐาน ตัวอย่างคำตอบ: วิธีแก้ไข: ตรวจสอบ การตรวจสอบพบว่า x=1, x=3, x=1.5 เป็นคำตอบของ สมการ และ x=2 ไม่ใช่คำตอบของสมการ ดังนั้น,

สไลด์ 45

การรวมความรู้

อสมการอะไรที่เรียกว่าเอ็กซ์โปเนนเชียล? เมื่อใดที่อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจะมีคำตอบสำหรับค่า x ใดๆ เมื่อใดที่อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลไม่มีวิธีแก้ปัญหา? คุณได้เรียนรู้ความไม่เท่าเทียมประเภทใดในบทเรียนนี้ อสมการที่ง่ายที่สุดแก้ไขได้อย่างไร? อสมการที่ลดเหลืออสมการกำลังสองจะแก้ไขได้อย่างไร? ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขอย่างไร? ความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถลดทอนลงไปสู่ความมีเหตุผลได้รับการแก้ไขได้อย่างไร?

สไลด์ 46

สรุปบทเรียน

ค้นหาว่านักเรียนใหม่ได้เรียนรู้อะไรบ้างในบทเรียนนี้ ให้คะแนนผลงานของนักเรียนในบทเรียนพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด

สไลด์ 47

การบ้าน

หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์” ผู้เขียน S.M. Nikolsky Study ย่อหน้า 6.4 และ 6.6, แก้ข้อ 6.31-6.35 และข้อ 6.45-6.50

สไลด์ 48

อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล ชนิด และวิธีการแก้ปัญหา

หลายๆ คนคิดว่าความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นสิ่งที่ซับซ้อนและไม่อาจเข้าใจได้ และการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหานั้นแทบจะเป็นศิลปะที่ยอดเยี่ยม ซึ่งมีเพียงผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่สามารถเข้าใจได้...

เรื่องไร้สาระสมบูรณ์! อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นเรื่องง่าย และพวกเขาจะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายเสมอ เกือบทุกครั้งเลย :)

วันนี้เราจะดูหัวข้อนี้ทั้งภายในและภายนอก บทเรียนนี้จะมีประโยชน์มากสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเข้าใจคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในส่วนนี้ มาเริ่มกันที่ปัญหาง่ายๆ และไปยังปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น วันนี้จะไม่มีการทำงานหนักใดๆ แต่สิ่งที่คุณจะอ่านตอนนี้จะเพียงพอที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันส่วนใหญ่ในการทดสอบและงานอิสระทุกประเภท และในการสอบครั้งนี้ของคุณด้วย

เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความกันเช่นเคย อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลคืออสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถลดความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มได้เสมอ

\[((ก)^(x)) \gt ข\]

โดยที่บทบาทของ $b$ อาจเป็นตัวเลขธรรมดาหรืออาจเป็นอะไรที่ยากกว่าก็ได้ ตัวอย่าง? ใช่โปรด:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ รูปสี่เหลี่ยม ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(ก))). \\\end(จัดแนว)\]

ฉันคิดว่าความหมายนั้นชัดเจน: มีฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล $((a)^(x))$ เมื่อเปรียบเทียบกับบางสิ่ง จากนั้นจึงขอให้ค้นหา $x$ ในกรณีทางคลินิกโดยเฉพาะ แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ พวกเขาสามารถใส่ฟังก์ชันบางอย่าง $f\left(x \right)$ และทำให้ความไม่เท่าเทียมกันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย :)

แน่นอน ในบางกรณี ความไม่เท่าเทียมกันอาจดูรุนแรงยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

หรือแม้แต่สิ่งนี้:

โดยทั่วไป ความซับซ้อนของความไม่เท่าเทียมกันอาจแตกต่างกันมาก แต่สุดท้ายแล้วก็ยังคงลดเหลือเพียงการสร้าง $((a)^(x)) \gt b$ เท่านั้น และเราจะหาโครงสร้างดังกล่าว (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีทางคลินิก เมื่อไม่มีอะไรอยู่ในใจ ลอการิทึมจะช่วยเราได้) ดังนั้นตอนนี้เราจะสอนวิธีแก้โครงสร้างง่ายๆ ให้คุณ

การแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

ลองพิจารณาบางสิ่งที่ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

แน่นอนว่าตัวเลขทางขวาสามารถเขียนใหม่เป็นกำลังสองได้: $4=((2)^(2))$ ดังนั้น อสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่สะดวกมาก:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

และตอนนี้มือของฉันกำลังอยากจะ "ขีดฆ่า" ทั้งสองที่อยู่ในฐานของกำลังเพื่อให้ได้คำตอบ $x \gt 2$ แต่ก่อนที่จะขีดฆ่าสิ่งใดออกไป เรามาจำพลังของทั้งสองกันก่อน:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

ดังที่คุณเห็น ยิ่งตัวเลขในเลขชี้กำลังมากเท่าไร ตัวเลขเอาต์พุตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น “ขอบคุณนะแคป!” - นักเรียนคนหนึ่งจะอุทาน มันแตกต่างกันบ้างไหม? น่าเสียดายที่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ ขวา))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

ที่นี่ทุกอย่างก็มีเหตุผลเช่นกัน ยิ่งดีกรีมากเท่าใด 0.5 ก็จะคูณด้วยตัวมันเองมากขึ้นเท่านั้น (เช่น หารครึ่ง) ดังนั้นลำดับผลลัพธ์ของตัวเลขจึงลดลง และความแตกต่างระหว่างลำดับที่หนึ่งและที่สองจะอยู่ในฐานเท่านั้น:

• หากฐานของระดับ $a \gt 1$ เมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น ตัวเลข $((a)^(n))$ ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน
• และในทางกลับกัน ถ้า $0 \lt a \lt 1$ เมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น ตัวเลข $((a)^(n))$ จะลดลง

เมื่อสรุปข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราได้รับข้อความที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้วิธีแก้ปัญหาอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมด:

ถ้า $a \gt 1$ แล้วอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับอสมการ $x \gt n$ ถ้า $0 \lt a \lt 1$ แล้วอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับอสมการ $x \lt n$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากฐานมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่งก็สามารถลบออกได้ แต่ในขณะเดียวกันคุณจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

โปรดทราบว่าเราไม่ได้พิจารณาตัวเลือก $a=1$ และ $a\le 0$ เพราะในกรณีเหล่านี้เกิดความไม่แน่นอนขึ้น สมมติว่าจะแก้อสมการในรูปแบบ $((1)^(x)) \gt 3$? หนึ่งต่อพลังใด ๆ จะให้หนึ่งอีกครั้ง - เราจะไม่มีวันได้รับสามหรือมากกว่านั้น เหล่านั้น. ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วยเหตุผลเชิงลบ ทุกสิ่งจึงน่าสนใจยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างก็ง่าย:

ขวา? แต่ไม่! การแทนที่เลข $x$ สองสามจำนวนและเลขคี่สองสามจำนวนก็เพียงพอแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่าผลเฉลยไม่ถูกต้อง ลองดู:

\[\begin(align) & x=4\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็นป้ายสลับกัน แต่ยังมีพลังเศษส่วนและเรื่องไร้สาระอื่น ๆ อีกด้วย ตัวอย่างเช่น คุณจะคำนวณ $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ลบ 2 ยกกำลัง 7) ได้อย่างไร? ไม่มีทาง!

ดังนั้น เพื่อความแน่นอน เราถือว่าในอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมด (และสมการด้วย) $1\ne a \gt 0$ แล้วทุกอย่างก็แก้ไขได้ง่ายมาก:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right) \\\end(align) \right.\]

โดยทั่วไป ให้จำกฎหลักอีกครั้ง: ถ้าฐานในสมการเลขชี้กำลังมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่งก็สามารถลบออกได้เช่นกัน แต่สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ดังนั้น เรามาดูอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลง่ายๆ สองสามข้อกัน:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25) \\\end(จัดแนว)\]

งานหลักในทุกกรณีจะเหมือนกัน: เพื่อลดความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ นี่คือสิ่งที่เราจะทำกับอสมการแต่ละรายการ และในขณะเดียวกัน เราก็จะทำซ้ำคุณสมบัติขององศาและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไปกันเลย!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

คุณสามารถทำอะไรที่นี่? ทางด้านซ้ายเรามีสำนวนที่บ่งบอกอยู่แล้ว - ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไร แต่ทางด้านขวามีเรื่องไร้สาระบางอย่าง: เศษส่วนและแม้แต่รากในตัวส่วน!

อย่างไรก็ตาม จำกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนและยกกำลัง:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))) \\\end(จัดแนว)\]

มันหมายความว่าอะไร? ขั้นแรก เราสามารถกำจัดเศษส่วนได้อย่างง่ายดายโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ และประการที่สอง เนื่องจากตัวส่วนมีราก จึงเป็นการดีที่จะเปลี่ยนมันเป็นกำลัง - คราวนี้ใช้เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

ลองใช้การกระทำเหล่านี้ตามลำดับทางด้านขวาของอสมการแล้วดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

อย่าลืมว่าเมื่อเพิ่มดีกรีเป็นยกกำลัง ค่ายกกำลังของดีกรีเหล่านี้จะรวมกัน และโดยทั่วไป เมื่อทำงานกับสมการเลขชี้กำลังและอสมการ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องรู้กฎที่ง่ายที่สุดในการทำงานกับกำลัง:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((ก)^(x)))(((ก)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)) \\\end(จัดแนว)\]

จริงๆ แล้ว เราเพิ่งใช้กฎข้อสุดท้าย ดังนั้น อสมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\ลูกศรขวา ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

ตอนนี้เรากำจัดทั้งสองที่ฐานแล้ว เนื่องจาก 2 > 1 เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิม:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\ลูกศรขวา x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

นั่นคือทางออก! ปัญหาหลักไม่ได้อยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ในการแปลงนิพจน์ดั้งเดิมอย่างมีความสามารถ: คุณต้องนำมันไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุดอย่างระมัดระวังและรวดเร็ว

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันประการที่สอง:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

ใช่ใช่ เศษส่วนทศนิยมรอเราอยู่ที่นี่ ดังที่ฉันได้กล่าวไปหลายครั้ง ในนิพจน์ที่มีอำนาจ คุณควรกำจัดทศนิยมออก ซึ่งมักจะเป็นวิธีเดียวที่จะเห็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและรวดเร็ว ที่นี่เราจะกำจัด:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

ตรงนี้อีกครั้ง เรามีอสมการที่ง่ายที่สุด และถึงแม้จะมีฐานเป็น 1/10 ก็ตาม นั่นคือ น้อยกว่าหนึ่ง เราลบฐานออกพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "น้อย" เป็น "มากกว่า" และเราได้รับ:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(จัดแนว)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$ โปรดทราบ: คำตอบนั้นเป็นชุดที่แน่นอน และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นการสร้างแบบฟอร์ม $x \lt -1$ เพราะอย่างเป็นทางการ โครงสร้างดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้เลย แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันเมื่อเทียบกับตัวแปร $x$ ใช่ มันง่ายมาก แต่มันไม่ใช่คำตอบ!

หมายเหตุสำคัญ- ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น - โดยการลดทั้งสองด้านให้เป็นกำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง ลองดู:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\ลูกศรขวา ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

หลังจากการเปลี่ยนแปลง เราจะได้ค่าอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกครั้ง แต่มีฐานเป็น 10 > 1 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถขีดฆ่าสิบออกไปได้ - สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็นคำตอบก็เหมือนกันทุกประการ ในขณะเดียวกัน เราก็ช่วยตัวเองจากความจำเป็นในการเปลี่ยนป้ายและโดยทั่วไปแล้วจะจำกฎเกณฑ์ต่างๆ ได้ :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

อย่างไรก็ตาม อย่าปล่อยให้เรื่องนี้ทำให้คุณกลัว ไม่ว่าตัวบ่งชี้จะเป็นอย่างไร เทคโนโลยีในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมก็ยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น ก่อนอื่นให้เราทราบก่อนว่า 16 = 2 4 ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

ไชโย! เราได้อสมการกำลังสองตามปกติ! เครื่องหมายไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เนื่องจากฐานเป็นสอง - ตัวเลขที่มากกว่าหนึ่ง

ค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจำนวน

เราจัดเรียงเครื่องหมายของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - แน่นอนว่ากราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านสาขาขึ้น ดังนั้นจะมี "เครื่องหมายบวก" ” ที่ด้านข้าง เราสนใจในภูมิภาคที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ เช่น $x\in \left(2;5 \right)$ คือคำตอบของปัญหาเดิม

สุดท้ายนี้ ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

อีกครั้งที่เราเห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนทศนิยมอยู่ที่ฐาน ลองแปลงเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนร่วม:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\ลูกศรขวา \\ & \ลูกศรขวา ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(จัด)\]

ในกรณีนี้ เราใช้หมายเหตุที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ - เราลดฐานลงเหลือเลข 5 > 1 เพื่อทำให้การแก้ปัญหาต่อไปง่ายขึ้น ลองทำเช่นเดียวกันกับด้านขวา:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ ขวา))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งสอง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

ฐานทั้งสองข้างเท่ากันและเกินฐานหนึ่ง ไม่มีคำศัพท์อื่นทางขวาและซ้าย ดังนั้นเราจึงเพียงแค่ "ขีดฆ่า" ห้าคำและรับสำนวนง่ายๆ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

นี่คือที่ที่คุณต้องระมัดระวังมากขึ้น นักเรียนหลายคนชอบหารากที่สองของทั้งสองข้างของอสมการแล้วเขียนประมาณว่า $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ ไม่ควรทำอย่างนี้ไม่ว่าในกรณีใด เนื่องจากรากของกำลังสองที่แน่นอนคือโมดูลัส และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นตัวแปรดั้งเดิม:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

อย่างไรก็ตาม การทำงานกับโมดูลไม่ใช่ประสบการณ์ที่น่าพึงพอใจที่สุดใช่ไหม งั้นเราจะไม่ทำงาน แต่เราเพียงแค่ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายแล้วแก้ไขอสมการปกติโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(จัด)$

เราทำเครื่องหมายคะแนนที่ได้รับบนเส้นจำนวนอีกครั้งและดูที่สัญญาณ:

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด จุดทั้งหมดบนกราฟจึงถูกแรเงา ดังนั้น คำตอบจะเป็น: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ไม่ใช่ช่วงเวลา แต่เป็นเซ็กเมนต์

โดยทั่วไป ฉันอยากจะทราบว่าไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ความหมายของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เราทำในวันนี้มาจากอัลกอริทึมง่ายๆ:

• ค้นหาพื้นฐานที่เราจะลดระดับทั้งหมดลง
• ทำการแปลงอย่างระมัดระวังเพื่อให้ได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ แน่นอนว่า แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ และ $n$ อาจมีฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านี้มาก แต่ความหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง
• ขีดฆ่าฐานขององศา. ในกรณีนี้ เครื่องหมายอสมการอาจเปลี่ยนแปลงได้หากฐาน $a \lt 1$

อันที่จริงนี่เป็นอัลกอริธึมสากลสำหรับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด และทุกสิ่งทุกอย่างที่พวกเขาจะบอกคุณในหัวข้อนี้เป็นเพียงเทคนิคและลูกเล่นเฉพาะที่จะทำให้การเปลี่ยนแปลงง่ายขึ้นและเร็วขึ้น เราจะพูดถึงหนึ่งในเทคนิคเหล่านี้ตอนนี้ :)

วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกชุดหนึ่ง:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ขวา))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

แล้วมีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง? พวกมันเบา ยังไงก็หยุด! เลข π ยกกำลังบ้างไหม? เรื่องไร้สาระอะไร?

จะเพิ่มตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ ให้เป็นกำลังได้อย่างไร? หรือ $3-2\sqrt(2)$? เห็นได้ชัดว่าผู้เขียนปัญหาดื่ม Hawthorn มากเกินไปก่อนจะนั่งทำงาน :)

จริงๆ แล้วไม่มีอะไรน่ากลัวเกี่ยวกับงานเหล่านี้ ฉันขอเตือนคุณว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ $((a)^(x))$ โดยที่ฐาน $a$ คือจำนวนบวกใดๆ ยกเว้นเลขหนึ่ง จำนวน π เป็นบวก - เรารู้อยู่แล้ว ตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ และ $3-2\sqrt(2)$ ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งง่ายต่อการดูว่าคุณเปรียบเทียบกับศูนย์หรือไม่

ปรากฎว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ "น่ากลัว" เหล่านี้ได้รับการแก้ไขแล้วไม่ต่างจากความไม่เท่าเทียมที่กล่าวถึงข้างต้นใช่ไหม และพวกเขาได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันหรือไม่? ใช่แล้ว ถูกต้องเลย อย่างไรก็ตาม จากตัวอย่างของพวกเขา ฉันต้องการพิจารณาเทคนิคหนึ่งที่ช่วยประหยัดเวลาในการทำงานอิสระและการสอบได้อย่างมาก เราจะพูดถึงวิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ดังนั้นความสนใจ:

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใดๆ ในรูปแบบ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เทียบเท่ากับอสมการ $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ ขวา) \gt 0 $

นั่นคือวิธีการทั้งหมด :) คุณคิดว่าจะมีเกมอื่นบ้างไหม? ไม่มีอะไรแบบนั้น! แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ซึ่งเขียนเป็นบรรทัดเดียว จะทำให้งานของเราง่ายขึ้นอย่างมาก ลองดู:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(เมทริกซ์)\]

ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกต่อไป! และคุณไม่จำเป็นต้องจำไว้ว่าป้ายเปลี่ยนหรือไม่ แต่มีปัญหาใหม่เกิดขึ้น: จะทำอย่างไรกับตัวคูณเจ้ากรรม \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? เราไม่รู้ว่าค่าที่แท้จริงของตัวเลข π คืออะไร อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่ากัปตันจะบอกเป็นนัยอย่างชัดเจน:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ประมาณ 3.14... \gt 3\ลูกศรขวา \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

โดยทั่วไป ค่าที่แน่นอนของ π ไม่ได้เกี่ยวข้องกับเราเลย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, ที .อี นี่คือค่าคงที่บวก และเราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างได้:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ในช่วงเวลาหนึ่ง เราต้องหารด้วยลบหนึ่ง - และสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันก็เปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันขยายตรีโกณมิติกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา - เห็นได้ชัดว่ารากมีค่าเท่ากับ $((x)_(1))=5$ และ $((x)_(2))=-1$ . จากนั้นทุกอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลาแบบคลาสสิก:

ลบคะแนนทั้งหมดออกเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมเข้มงวด เราสนใจบริเวณที่มีค่าลบ ดังนั้นคำตอบคือ $x\in \left(-1;5 \right)$ นั่นคือวิธีแก้ปัญหา :)

มาดูงานต่อไปกันดีกว่า:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

โดยทั่วไปทุกอย่างที่นี่จะเรียบง่าย เนื่องจากมีหน่วยอยู่ทางขวา และเราจำได้ว่าหนึ่งคือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ถูกยกกำลังเป็นศูนย์ แม้ว่าตัวเลขนี้จะเป็นนิพจน์ที่ไม่ลงตัวที่ฐานทางซ้าย:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \ขวา))^(0)); \\\end(จัดแนว)\]

เรามาหาเหตุผลเข้าข้างตนเองกันดีกว่า:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาสัญญาณ ตัวประกอบ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ไม่มีตัวแปร $x$ - มันเป็นเพียงค่าคงที่ และเราจำเป็นต้องค้นหาเครื่องหมายของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(เมทริกซ์)\]

ปรากฎว่าปัจจัยที่สองไม่ได้เป็นเพียงค่าคงที่ แต่เป็นค่าคงที่เชิงลบ! และเมื่อหารด้วยเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้ทุกอย่างชัดเจนไปหมดแล้ว รากของกำลังสองตรีโกณมิติทางขวาคือ: $((x)_(1))=0$ และ $((x)_(2))=2$ เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวนและดูสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

เราสนใจช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายบวก สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

มาดูตัวอย่างถัดไปกัน:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ขวา))^(16-x))\]

ทุกอย่างชัดเจนที่นี่: ฐานมีพลังของจำนวนเดียวกัน ดังนั้นฉันจะเขียนทุกอย่างโดยย่อ:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ลูกศรลง \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ซ้าย(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างกระบวนการแปลง เราต้องคูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจึงเปลี่ยนไป ในตอนท้ายสุด ผมใช้ทฤษฎีบทของเวียตาอีกครั้งเพื่อแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ใครๆ ก็สามารถตรวจสอบได้โดยการวาดเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายจุด และนับเครื่องหมาย ในขณะเดียวกัน เราจะไปยังความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ของเรา:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

อย่างที่คุณเห็น ที่ฐานมีจำนวนอตรรกยะอีกครั้ง และทางด้านขวาก็มีหน่วยอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงเขียนอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใหม่ดังนี้:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ขวา))^(0))\]

เราใช้การหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

อย่างไรก็ตาม เห็นได้ชัดว่า $1-\sqrt(2) \lt 0$ เนื่องจาก $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$ ดังนั้นปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าคงที่ลบอีกครั้ง ซึ่งสามารถแบ่งความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านได้:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

ย้ายไปฐานอื่น

ปัญหาอีกประการหนึ่งเมื่อแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลคือการค้นหาพื้นฐานที่ "ถูกต้อง" น่าเสียดายที่มันไม่ชัดเจนเสมอไปเมื่อเห็นงานครั้งแรกว่าต้องใช้อะไรเป็นพื้นฐานและต้องทำอะไรตามระดับของพื้นฐานนี้

แต่ไม่ต้องกังวล: ที่นี่ไม่มีเวทย์มนตร์หรือเทคโนโลยี "ความลับ" ในทางคณิตศาสตร์ ทักษะใดๆ ที่ไม่สามารถกำหนดอัลกอริทึมได้สามารถพัฒนาได้อย่างง่ายดายผ่านการฝึกฝน แต่สำหรับสิ่งนี้คุณจะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในระดับต่างๆ ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ สิ้นสุด(จัดตำแหน่ง)\]

ยาก? น่ากลัว? ง่ายกว่าการตีไก่บนพื้นยางมะตอย! มาลองดูกัน ความไม่เท่าเทียมกันประการแรก:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่:

เราเขียนอสมการเดิมใหม่ โดยลดทุกอย่างให้เหลือฐานสอง:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\ลูกศรขวา \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

ใช่ ใช่ คุณได้ยินถูกแล้ว ฉันเพิ่งใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ตอนนี้เราต้องทำงานอย่างระมัดระวัง: เรามีความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นเศษส่วน-ตรรกยะ (นี่คือค่าที่มีตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้นก่อนที่จะทำให้สิ่งใดๆ กลายเป็นศูนย์ เราต้องนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วมและกำจัดตัวประกอบคงที่ .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้เราใช้วิธีช่วงเวลามาตรฐาน ตัวเศษศูนย์: $x=\pm 4$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์เฉพาะเมื่อ $x=0$ มีทั้งหมดสามจุดที่ต้องทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน (ทุกจุดถูกปักหมุดไว้เนื่องจากเครื่องหมายอสมการเข้มงวด) เราได้รับ:

ดังที่คุณอาจเดาได้ การแรเงาจะทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่นิพจน์ทางด้านซ้ายรับค่าลบ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจะรวมสองช่วงพร้อมกัน:

จุดสิ้นสุดของช่วงจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมเข้มงวด ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบคำตอบนี้เพิ่มเติม ในเรื่องนี้ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นง่ายกว่าลอการิทึมมาก: ไม่มี ODZ ไม่มีข้อจำกัด ฯลฯ

มาดูงานต่อไปกันดีกว่า:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

ก็ไม่มีปัญหาเช่นกัน เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่า $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ดังนั้นอสมการทั้งหมดจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\ลูกศรขวา ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โปรดทราบ: ในบรรทัดที่สามฉันตัดสินใจที่จะไม่เสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ และหารทุกอย่างทันทีด้วย (−2) มินูลเข้าไปในวงเล็บแรก (ตอนนี้มีข้อดีอยู่ทุกหนทุกแห่ง) และสองก็ลดลงด้วยปัจจัยคงที่ นี่คือสิ่งที่คุณควรทำเมื่อเตรียมการคำนวณจริงสำหรับงานอิสระและงานทดสอบ - คุณไม่จำเป็นต้องอธิบายทุกการกระทำและการเปลี่ยนแปลงโดยตรง

ต่อไป วิธีการที่คุ้นเคยของช่วงเวลาที่คุ้นเคยเข้ามามีบทบาท ตัวเศษศูนย์: แต่ไม่มีเลย เพราะการเลือกปฏิบัติจะเป็นลบ ในทางกลับกัน ตัวส่วนจะถูกรีเซ็ตที่ $x=0$ เท่านั้น - เช่นเดียวกับครั้งล่าสุด เป็นที่ชัดเจนว่าทางด้านขวาของ $x=0$ เศษส่วนจะได้ค่าบวก และทางซ้าย - เป็นลบ เนื่องจากเราสนใจค่าลบ คำตอบสุดท้ายคือ: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

คุณควรทำอย่างไรกับเศษส่วนทศนิยมในความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล? ถูกต้อง: กำจัดพวกมันแล้วแปลงพวกมันให้กลายเป็นของธรรมดา ที่นี่เราจะแปล:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ซ้าย(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\ลูกศรขวา ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\ขวา))^(x)) \\\end(จัดแนว)\]

แล้วเราได้อะไรจากรากฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? และเรามีตัวเลขผกผันกันสองตัว:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(25)(4) \ ขวา))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ ซ้าย(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

ดังนั้น อสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \ขวา))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(จัดแนว)\]

แน่นอนว่าเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในบรรทัดที่สอง นอกจากนี้ เราแสดงหน่วยทางด้านขวาด้วย เป็นกำลังในฐาน 4/25 เช่นกัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \ลูกศรขวา \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

โปรดทราบว่า $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ เช่น ปัจจัยที่สองคือค่าคงที่ลบ และเมื่อหารด้วยค่านั้น เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนไป:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\ลูกศรขวา x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

ในที่สุดความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก “ชุด” ปัจจุบัน:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

โดยหลักการแล้ว แนวคิดในการแก้ปัญหาที่นี่ก็ชัดเจนเช่นกัน: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่รวมอยู่ในอสมการจะต้องลดลงเหลือฐาน "3" แต่สำหรับสิ่งนี้คุณจะต้องคนจรจัดเล็กน้อยด้วยรากและพลัง:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)) \\\end(จัดแนว)\]

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้แล้ว ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\end(จัดแนว)\]

ให้ความสนใจกับการคำนวณบรรทัดที่ 2 และ 3: ก่อนที่จะทำอะไรก็ตามที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่าลืมนำมาไว้ในรูปแบบที่เราพูดถึงตั้งแต่ต้นบทเรียน: $((a)^(x)) \ lt ((ก)^(n))$. ตราบใดที่คุณมีตัวประกอบทางซ้าย ค่าคงที่เพิ่มเติม ฯลฯ ทางซ้ายหรือขวา ไม่สามารถดำเนินการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองหรือ "ขีดฆ่า" เหตุผลได้- งานจำนวนนับไม่ถ้วนเสร็จสิ้นอย่างไม่ถูกต้องเนื่องจากไม่สามารถเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ ฉันเองก็สังเกตปัญหานี้กับนักเรียนอยู่ตลอดเวลา เมื่อเราเพิ่งเริ่มวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม

แต่กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า คราวนี้เรามาลองทำโดยไม่ต้องหาเหตุผลเข้าข้างตนเองกัน โปรดจำไว้ว่า: ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถขีดฆ่าค่าสามเท่าออกได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

แค่นั้นแหละ. คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$

การแยกนิพจน์ที่เสถียรและการแทนที่ตัวแปร

โดยสรุป ฉันเสนอให้แก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกสี่ประการซึ่งค่อนข้างยากสำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ เพื่อรับมือกับสิ่งเหล่านี้ คุณต้องจำกฎการทำงานกับปริญญา โดยเฉพาะการเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้ที่จะเข้าใจสิ่งที่สามารถนำออกจากวงเล็บได้ นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าเสถียร - สามารถแสดงด้วยตัวแปรใหม่ได้และทำให้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกกำจัดออกไป ลองดูงาน:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

เริ่มจากบรรทัดแรกกันก่อน ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันนี้แยกกัน:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

โปรดทราบว่า $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ดังนั้นทางขวามือ ด้านข้างสามารถเขียนใหม่ได้:

โปรดทราบว่าไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ ยกเว้น $((5)^(x+1))$ ในอสมการ และโดยทั่วไปแล้ว ตัวแปร $x$ จะไม่ปรากฏที่อื่น ดังนั้นเราขอแนะนำตัวแปรใหม่: $((5)^(x+1))=t$ เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

เรากลับไปที่ตัวแปรเดิม ($t=((5)^(x+1))$) และในขณะเดียวกันก็จำไว้ว่า 1=5 0 เรามี:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(จัดแนว)\]

นั่นคือทางออก! คำตอบ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. เรามาดูอสมการที่สองกันดีกว่า:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ โปรดทราบว่า $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ จากนั้นด้านซ้ายสามารถเขียนใหม่ได้:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\ขวา \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\ลูกศรขวา ((3)^(x))\ge 9\ลูกศรขวา ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ลูกศรขวา x\in \left[ 2;+\infty \right) \\\end(จัดแนว)\]

นี่เป็นวิธีการโดยประมาณที่คุณต้องจัดทำโซลูชันสำหรับการทดสอบจริงและงานอิสระ

เรามาลองทำสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกัน:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

มีปัญหาอะไรที่นี่? ประการแรก ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายจะต่างกัน: 5 และ 25 อย่างไรก็ตาม 25 = 5 2 ดังนั้นเทอมแรกจึงสามารถแปลงได้:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

อย่างที่คุณเห็น ในตอนแรกเรานำทุกอย่างมาไว้ที่ฐานเดียวกัน จากนั้นเราสังเกตเห็นว่าเทอมแรกสามารถลดเหลือเทอมที่สองได้อย่างง่ายดาย คุณเพียงแค่ต้องขยายเลขชี้กำลัง ตอนนี้คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้อย่างปลอดภัย: $((5)^(2x+2))=t$ และอสมการทั้งหมดจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

และอีกครั้ง ไม่มีปัญหา! คำตอบสุดท้าย: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$ เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้ายในบทเรียนวันนี้กันดีกว่า:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

สิ่งแรกที่คุณควรใส่ใจคือเศษส่วนทศนิยมที่อยู่ในฐานของยกกำลังแรก มีความจำเป็นต้องกำจัดมันออกไปและในขณะเดียวกันก็นำฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมดมาไว้ในฐานเดียวกัน - หมายเลข "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ลูกศรขวา ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

เยี่ยมมาก เราได้ก้าวแรกแล้ว ทุกอย่างได้นำไปสู่รากฐานเดียวกัน ตอนนี้คุณต้องเลือกนิพจน์ที่เสถียร โปรดทราบว่า $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ หากเราแนะนำตัวแปรใหม่ $((2)^(4x+6))=t$ แล้วอสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(จัดแนว)\]

โดยปกติแล้ว คำถามอาจเกิดขึ้น: เราค้นพบว่า 256 = 2 8 ได้อย่างไร น่าเสียดายที่ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องรู้พลังของสอง (และในเวลาเดียวกันก็รู้พลังของสามและห้า) หรือหาร 256 ด้วย 2 (คุณสามารถหารได้ เนื่องจาก 256 เป็นจำนวนคู่) จนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ มันจะมีลักษณะดังนี้:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(จัดตำแหน่ง )\]

เช่นเดียวกับสาม (ตัวเลข 9, 27, 81 และ 243 เป็นองศา) และเจ็ด (ตัวเลข 49 และ 343 ก็น่าจดจำเช่นกัน) ทั้งห้าก็มีระดับ "สวยงาม" ที่คุณต้องรู้ด้วย:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(จัดแนว)\]

แน่นอน หากคุณต้องการ คุณสามารถเรียกคืนตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดไว้ในใจของคุณได้เพียงแค่คูณตัวเลขเหล่านั้นตามลำดับกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณต้องแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลหลายตัว และค่าถัดไปแต่ละค่ายากกว่าค่าก่อนหน้า สิ่งสุดท้ายที่คุณคิดคือกำลังของตัวเลขบางตัว และในแง่นี้ ปัญหาเหล่านี้ซับซ้อนกว่าอสมการแบบ "คลาสสิก" ที่แก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยคุณในการเรียนรู้หัวข้อนี้ หากมีอะไรไม่ชัดเจนให้ถามในความคิดเห็น แล้วพบกันใหม่บทเรียนหน้าครับ :)

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 หนังสือเรียน. Nikolsky S.M. ฯลฯ

ระดับพื้นฐานและโปรไฟล์

ฉบับที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2552. - 430 น.

หนังสือเรียนนี้สอดคล้องกับองค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ของรัฐ และมีเนื้อหาสำหรับทั้งระดับพื้นฐานและระดับเฉพาะทาง คุณสามารถทำงานกับมันได้ไม่ว่านักเรียนจะเรียนหนังสือเรียนเล่มไหนในปีที่แล้วก็ตาม

หนังสือเรียนนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อเตรียมความพร้อมนักเรียนในการเข้ามหาวิทยาลัย

รูปแบบ:ดีเจวู

ขนาด: 15.2 ลบ

รับชมดาวน์โหลด:ไดรฟ์.google ; ผี

รูปแบบ: pdf

ขนาด: 42.3 ลบ

รับชมดาวน์โหลด:ไดรฟ์.google ; ผี

บันทึก:คุณภาพ PDF ดีขึ้น เกือบจะดีเยี่ยม ทำจากการสแกนเดียวกัน 150 dpi สี แต่ใน DJVU มันจะแย่ลงเล็กน้อย นี่เป็นกรณีที่ขนาดมีความสำคัญ

สารบัญ
บทที่ 1 ราก พลัง ลอการิทึม
§ 1. จำนวนจริง 3
1.1. แนวคิดของจำนวนจริง 3
1.2. ตัวเลขเยอะมาก คุณสมบัติของจำนวนจริง ... 10
1.3*. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ 16
1.4. การเรียงสับเปลี่ยน 22
1.5. ตำแหน่ง 25
1.6. ชุดค่าผสม 27
1.7*. การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข 30
1.8*. การหารจำนวนเต็มลงตัว 35
1.9*. การเปรียบเทียบแบบโมดูโลที 38
1.10*. ปัญหาการไม่ทราบจำนวนเต็ม 40
§ 2. สมการตรรกศาสตร์และอสมการ 44
2.1. นิพจน์เหตุผล 44
2.2. สูตรทวินาม ผลรวม และผลต่างของกำลังของนิวตัน - 48
2.3*. การหารพหุนามด้วยเศษเหลือ อัลกอริทึมแบบยุคลิด... 53
2.4*. ทฤษฎีบทของเบซูต์ 57
2.5*. รากของพหุนาม 60
2.6. สมการตรรกยะ 65
2.7. ระบบสมการตรรกยะ 70
2.8. วิธีช่วงสำหรับการแก้อสมการ 75
2.9. อสมการเชิงเหตุผล 79
2.10. อสมการไม่เข้มงวด 84
2.11. ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล 88
§ 3. รากของระดับ n 93
3.1. แนวคิดของฟังก์ชันและกราฟของมัน 93
3.2. ฟังก์ชั่น y = x" 96
3.3. แนวคิดเรื่องรากของดีกรี n 100
3.4. รากขององศาคู่และคี่ 102
3.5. รากเลขคณิต 106
3.6. คุณสมบัติของรากระดับ l 111
3.7*. ฟังก์ชัน y = nx (x > 0) 114
3.8*. ฟังก์ชัน y = nVx 117
3.9*. ราก n ของจำนวนธรรมชาติ 119
§ 4. กำลังของจำนวนบวก 122
4.1. ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ 122
4.2. คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ 125
4.3. แนวคิดของการจำกัดลำดับ 131
4.4*. คุณสมบัติของขีดจำกัด 134
4.5. ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด - - 137
4.6. หมายเลข อี 140
4.7. แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.... 142
4.8. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง 144
§ 5. ลอการิทึม 148
5.1. แนวคิดของลอการิทึม 148
5.2. คุณสมบัติของลอการิทึม 151
5.3. ฟังก์ชันลอการิทึม 155
5.4*. ลอการิทึมทศนิยม 157
5.5*. ฟังก์ชั่นพลังงาน 159
§ 6. สมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมและอสมการ - 164
6.1. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด 164
6.2. สมการลอการิทึมอย่างง่าย 166
6.3. ลดสมการให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก 169
6.4. อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด 173
6.5. อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด 178
6.6. ความไม่เท่าเทียมกันลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก 182
ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ 187
บทที่สอง สูตรตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
§ 7. ไซน์และโคไซน์ของมุม 193
7.1. แนวคิดของมุม 193
7.2. การวัดเรเดียนของมุม 200
7.3. การหาค่าไซน์และโคไซน์ของมุม 203
7.4. สูตรพื้นฐานสำหรับบาป a และ cos a 211
7.5. อาร์คไซน์ 216
7.6. อาร์คโคไซน์ 221
7.7*. ตัวอย่างการใช้อาร์คไซน์และอาร์คโคซีน.... 225
7.8*. สูตรสำหรับอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ 231
§ 8. แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 233
8.1. การหาค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 233
8.2. สูตรพื้นฐานสำหรับ tg a และ ctg a 239
8.3. อาร์กแทนเจนต์ 243
8.4*. อาร์คแทนเจนต์ 246
8.5*. ตัวอย่างการใช้อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ - 249
8.6*. สูตรสำหรับอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ 255
§ 9. สูตรเพิ่มเติม 258
9.1. โคไซน์ของผลต่างและโคไซน์ของผลรวมของสองมุม 258
9.2. สูตรสำหรับมุมเสริม 262
9.3. ไซน์ของผลรวมและไซน์ของผลต่างของสองมุม 264
9.4. ผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ 266
9.5. สูตรสำหรับมุมสองเท่าและครึ่ง 268
9.6*. ผลคูณของไซน์และโคไซน์ 273
9.7*. สูตรแทนเจนต์ 275
§ 10. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข 280
10.1. ฟังก์ชัน y = บาป x 281
10.2. ฟังก์ชัน y = cos x 285
10.3. ฟังก์ชัน y = tg * 288
10.4. ฟังก์ชัน y = ctg x 292
§ 11. สมการตรีโกณมิติและอสมการ 295
11.1. สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย 295
11.2. ลดสมการให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก 299
11.3. การใช้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานในการแก้สมการ 303
11.4. สมการเอกพันธ์ 307
11.5*. อสมการที่ง่ายที่สุดสำหรับไซน์และโคไซน์.... 310
11.6*. อสมการที่ง่ายที่สุดสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ - - 315
11.7*. ความไม่เท่าเทียมกันลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยแทนที่ 319 ที่ไม่รู้จัก
11.8*. การแนะนำมุมเสริม 322
11.9*. การแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก t = sin x + cos x 327
ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ 330
บทที่ 3 องค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น
§ 12. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 333
12.1. แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 333
12.2. คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 338
§ 13* ความถี่. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข 342
13.1*. ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ 342
13.2*. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์อิสระ 344
มาตรา 14* ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กฎแห่งตัวเลขขนาดใหญ่ 348
14.1*. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 348
14.2*. ประสบการณ์ที่ยากลำบาก 353
14.3*. สูตรของเบอร์นูลลี กฎแห่งตัวเลขขนาดใหญ่ 355
ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ 359
ทบทวนงาน 362
ดัชนีหัวเรื่อง 407
ตอบกลับ 410

หัวข้อที่ 6. สมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมและอสมการ (11 ชั่วโมง)
หัวข้อบทเรียน ความไม่เท่าเทียมกันลดลงไปสู่สิ่งที่ง่ายที่สุดโดยการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จัก
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อพัฒนาทักษะในการแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมโดยการลดให้เหลือสิ่งที่ง่ายที่สุดโดยแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จัก
งาน:
ทางการศึกษา: ทำซ้ำและรวบรวมความรู้ในหัวข้อ "การแก้ไขอสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมที่ง่ายที่สุด" เรียนรู้การแก้อสมการลอการิทึมและเอกซ์โปเนนเชียลด้วยวิธีทดแทน
พัฒนาการ: เพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการระบุความไม่เท่าเทียมกันสองประเภทและกำหนดวิธีการแก้ไข (การคิดเชิงตรรกะและสัญชาตญาณ เหตุผลในการตัดสิน การจำแนกประเภท การเปรียบเทียบ) เพื่อพัฒนาทักษะการควบคุมตนเองและการทดสอบตนเอง ความสามารถในการเคลื่อนไหวตาม ไปยังอัลกอริธึมที่กำหนด ประเมินและแก้ไขผลลัพธ์
ทางการศึกษา: พัฒนาคุณสมบัติของนักเรียนต่อไปเช่น: ความสามารถในการฟังซึ่งกันและกัน; ความสามารถในการควบคุมซึ่งกันและกันและความนับถือตนเอง
ประเภทบทเรียน: รวม
หนังสือเรียนพีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 S.M. นิโคลสกี้, เอ็ม.เค. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. เชฟคิน
ความคืบหน้าของบทเรียน
ช่วงเวลาขององค์กร
ตรวจการบ้าน.
การอัพเดตความรู้พื้นฐาน
หน้าผาก:
1. อสมการใดที่เรียกว่าอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด
2. อธิบายความหมายของการแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
3. อสมการใดที่เรียกว่าอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด
4. อธิบายความหมายของการแก้อสมการลอการิทึมอย่างง่าย
โดยเขียนไว้บนกระดาน (นักเรียนคนละ 1 คน):
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2คำอธิบายเกี่ยวกับวัสดุใหม่และการเสริมแรงทีละขั้นตอน
1.1. คำอธิบายของวัสดุใหม่
1. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2ต<142t<2-2т. к. основание 2>1 แล้ว
ที<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
เราสนใจเครื่องหมาย "−−" แล้วเราก็จะได้
คำตอบ:x∈(1;2)
2. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

1.2. การรวมบัญชีทีละขั้นตอน
หมายเลข 6.49(ก, ค)
หมายเลข 6.52(ง)
ก) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
คำตอบ: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
คำตอบ: -15;1d) log5x2-2x-3<1
ล็อก5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0x2-2x-8<0х2-2х-3>0

คำตอบ: -2;-1∪3;42.1. คำอธิบายของวัสดุใหม่
3. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการ 1 รายการก็สมเหตุสมผลสำหรับ x ทั้งหมด และอย่างที่สอง

2.2. การรวมบัญชีทีละขั้นตอน
แก้ความไม่เท่าเทียมกันหมายเลข 6.56(c)
3.1. คำอธิบายของวัสดุใหม่
4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

3.2. การรวมบัญชีทีละขั้นตอน
แก้ความไม่เท่าเทียมกันหมายเลข 6.60(ก)
สรุปบทเรียน.
การสะท้อนกลับ
การบ้าน.
ป. 6.6
หมายเลข 6.49 (ข, ง)
หมายเลข 6.52 (ก, ข)
หมายเลข 6.56 (ง)
หมายเลข 6.60 (ข)

ไฟล์แนบ

สถานที่ทำงานตำแหน่ง: - MOU-SOSH r.p. พุชคิโนอาจารย์

ภูมิภาค: — ภูมิภาคซาราตอฟ

ลักษณะของบทเรียน (เซสชัน) ระดับการศึกษา: - มัธยมศึกษา (สมบูรณ์) การศึกษาทั่วไป

กลุ่มเป้าหมาย: — นักเรียน (นักเรียน)
กลุ่มเป้าหมาย: — ครู (ครู)

เกรด: – เกรด 10

หัวเรื่อง: – พีชคณิต

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: - การสอน: เพื่อปรับปรุงเทคนิคพื้นฐานและวิธีการในการแก้ไขอสมการลอการิทึมและเอ็กซ์โปเนนเชียลและเพื่อให้แน่ใจว่านักเรียนทุกคนเชี่ยวชาญเทคนิคอัลกอริทึมพื้นฐานสำหรับการแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม พัฒนาการ: พัฒนาการคิดเชิงตรรกะ, ความจำ, ความสนใจทางปัญญา, พัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ต่อไป, พัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์และเปรียบเทียบ ทางการศึกษา: เพื่อสอนการออกแบบโน้ตที่สวยงามในสมุดบันทึก ความสามารถในการฟังผู้อื่น และความสามารถในการสื่อสาร ปลูกฝังความแม่นยำ และการทำงานหนัก

ประเภทของบทเรียน: — บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้

นักเรียนในชั้นเรียน(ผู้ฟัง): - 25

คำอธิบายโดยย่อ: - การแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมถือเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ซับซ้อนในคณิตศาสตร์และกำหนดให้นักเรียนมีความรู้ทางทฤษฎีที่ดี ความสามารถในการนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ต้องใช้ความสนใจ การทำงานหนัก และสติปัญญา หัวข้อที่กล่าวถึงในบทเรียนนี้ใช้สำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและการสอบปลายภาคด้วย บทเรียนประเภทนี้พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ ความจำ ความสนใจทางปัญญา และช่วยพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ และฟังผู้อื่น

ขั้นตอนบทเรียนและเนื้อหา

เวลา

(นาที)

กิจกรรม

ครู

นักเรียน

1.ขั้นตอนการจัดองค์กร

องค์กร

มีการรายงานการขาดงาน

2. การตั้งเป้าหมาย

วันนี้ในบทเรียนเราจะฝึกวิธีการและวิธีการพื้นฐานที่เรียนรู้ต่อไปในการแก้ไขอสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมและยังพิจารณาวิธีอื่นในการแก้ไขอสมการลอการิทึมและเลขชี้กำลังด้วย: นี่คือการเปลี่ยนไปสู่อสมการเชิงตรรกยะโดยการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักเช่นเดียวกับ วิธีการหารอสมการทั้งสองด้านด้วยจำนวนบวก

แจ้งหัวข้อบทเรียน, วันที่เรียน, วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เขียนลงในสมุดบันทึก

3.ตรวจการบ้าน

เรียกคน 3 คนมาที่คณะกรรมการตามคำขอของนักเรียนในขณะเดียวกันก็ดำเนินการสนทนาส่วนหน้าในประเด็นทางทฤษฎี

สี่คนทำงานเป็นคณะกรรมการ ส่วนที่เหลือมีส่วนร่วมในการสำรวจเชิงทฤษฎี

สำหรับการบ้าน คุณจะถูกขอให้แก้อสมการลอการิทึมและเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ความซับซ้อนสองระดับ เรามาดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับบางส่วนบนกระดานกัน

6.49(ก); 6.52(ง) 6.56(ข),6.54(ข)

4.การอัพเดตความรู้ของนักศึกษา

จำไว้ว่าเราพูดคุยถึงวิธีการใดบ้างในบทเรียนที่แล้ว

วันนี้เราจะมาดูความไม่เท่าเทียมกันซึ่งหลังจากแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่แล้ว จะกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

ในการทำเช่นนี้ ขอให้เราจำไว้ว่าอะไรคือวิธีแก้ของอสมการเชิงตรรกยะในรูปแบบ A(x) / B(x)>0? วิธีใดใช้ในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล?

5.พัฒนาความรู้และทักษะของนักเรียน

xx

ตัวอย่างที่ 1)2 - 9 / (2 -1)0

3 นาที

x +0.5xx +0.5

3). 25- 710+4>0

3 นาที

5) การรวมสิ่งใหม่

ทำแบบฝึกหัดที่กระดาน

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -ที่กระดาน 6.62(c)

แนะนำให้คุณเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่มีเหตุผล ติดตามความถูกต้องของการให้เหตุผลและบันทึกการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันให้ถูกต้อง ให้คะแนนการทำงาน

นักเรียนคนหนึ่งตัดสินใจที่กระดาน ที่เหลือจดวิธีแก้ปัญหาลงในสมุดบันทึก

6) งานอิสระที่แตกต่าง (งานบนหน้าจอ)

ระดับ 1:

ตัวเลือกที่ 12 ตัวเลือก

No.6.48(b);No.6.48(e);

หมายเลข 6.58(ก) ;หมายเลข 6.58(ค)

ระดับ 2:

ตัวเลือกที่ 12 ตัวเลือก

No.6.61(b);No.6.61(ง);

หมายเลข 6.62(ค);หมายเลข 6.62(ง).

5 นาที

มีคน 2 คนทำงานเป็นรายบุคคลบนไซด์บอร์ด ส่วนที่เหลือทำงานอิสระหลายระดับในสาขานี้

7) การตรวจสอบงานอิสระ

3 นาที

8) การบ้าน (บนหน้าจอ)

ข้อ 1 ระดับ 6.6 (ก.) ข้อ 6.57 (ก.)

ระดับ 2: ข้อ 6.6; หมายเลข 6.62 (ก) หมายเลข 158 (หน้า 382) หมายเลข 168 (ก, ข) (หน้า 383)

2 นาที

อธิบายการบ้าน ดึงดูดความสนใจของนักเรียนให้เห็นว่ามีงานที่คล้ายกันในชั้นเรียน

สองงานสุดท้ายได้รับการเสนอเมื่อเข้าศึกษาในมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกและ MTITF

หลังจากฟังครูอย่างตั้งใจแล้ว ให้จดการบ้านของคุณ คุณเลือกระดับความยากได้ด้วยตัวเอง

8) สรุปบทเรียน: การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมถือเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ซับซ้อนของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน และกำหนดให้นักเรียนมีความรู้ทางทฤษฎีที่ดี ความสามารถในการนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ต้องใช้ความสนใจ การทำงานหนัก และสติปัญญา ด้วยเหตุนี้ความไม่เท่าเทียมกันที่กล่าวถึงในบทเรียนจึงรวมอยู่ในการสอบเบื้องต้นสำหรับมหาวิทยาลัยและการสอบปลายภาค วันนี้ในชั้นเรียนทุกคนทำงานได้ดีมากและได้รับคะแนนดังต่อไปนี้

ขอบคุณทุกคน.

2 นาที

ไฟล์:
ขนาดไฟล์: 6789120 ไบต์