§ 6. การสั่นสะเทือนทางกลสูตรพื้นฐาน

สมการฮาร์มอนิก

ที่ไหน เอ็กซ์ -การกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ที- เวลา; เอ,ω, φ - แอมพลิจูด, ความถี่เชิงมุม, เฟสเริ่มต้นของการแกว่งตามลำดับ; - ระยะของการแกว่งในขณะนั้น ที.

ความถี่เชิงมุม

โดยที่ ν และ T คือความถี่และคาบของการสั่น

ความเร็วของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือ

ความเร่งระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิก

แอมพลิจูด กการสั่นที่เกิดขึ้นจากการบวกการสั่นสองครั้งที่มีความถี่เท่ากันเกิดขึ้นตามเส้นตรงเส้นเดียวจะถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน ก 1 และ ก 2 - แอมพลิจูดของส่วนประกอบการสั่นสะเทือน φ 1 และ φ 2 เป็นระยะเริ่มต้น

เฟสเริ่มต้น φ ของการแกว่งที่เกิดขึ้นสามารถพบได้จากสูตร

ความถี่ของการเต้นที่เกิดขึ้นเมื่อเพิ่มการสั่นสองครั้งที่เกิดขึ้นในเส้นตรงเดียวกันโดยมีความถี่ต่างกัน แต่คล้ายกัน ν 1 และ ν 2

สมการของวิถีโคจรของจุดที่มีส่วนร่วมในการแกว่งตั้งฉากกันสองครั้งด้วยแอมพลิจูด A 1 และ A 2 และเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2

หากเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ของส่วนประกอบการแกว่งเหมือนกัน สมการวิถีโคจรจะอยู่ในรูปแบบ

นั่นคือจุดนั้นเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

ในกรณีที่ผลต่างเฟสคือ สมการจะอยู่ในรูปแบบ

นั่นคือจุดเคลื่อนที่ไปตามวงรี

สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งฮาร์มอนิกของจุดวัสดุ

, หรือ โดยที่ m คือมวลของจุด เค- ค่าสัมประสิทธิ์แรงกึ่งยืดหยุ่น ( เค=ตω 2)

พลังงานทั้งหมดของจุดวัสดุที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือ

คาบการสั่นของวัตถุที่แขวนอยู่บนสปริง (ลูกตุ้มสปริง)

ที่ไหน ม- น้ำหนักตัว; เค- ความแข็งของสปริง

สูตรนี้ใช้ได้กับการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นภายในขอบเขตที่เป็นไปตามกฎของฮุค (โดยมีมวลสปริงเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย)

ที่ไหน คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ล - ความยาวของลูกตุ้ม;- ก

ที่ไหน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพเจ

- โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สั่นสัมพันธ์กับแกน ความลังเล;ก

- ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการสั่น

สูตรที่ให้มานั้นแม่นยำสำหรับกรณีของแอมพลิจูดที่เล็กมาก สำหรับแอมพลิจูดที่มีขอบเขตจำกัด สูตรเหล่านี้ให้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น ด้วยแอมพลิจูดไม่เกินค่าความผิดพลาดในช่วงค่าจะต้องไม่เกิน 1%

คาบของการสั่นสะเทือนแบบบิดของร่างกายที่แขวนอยู่บนด้ายยางยืดคือ

ที่ไหน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ- โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ตรงกับด้ายยืดหยุ่น เค- ความแข็งของด้ายยางยืด เท่ากับอัตราส่วนของโมเมนต์ยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นเมื่อด้ายถูกบิดเป็นมุมที่ด้ายถูกบิด

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วง , หรือ ,

ที่ไหน ร- ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน δ - ค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ: ;ω 0 - ความถี่เชิงมุมตามธรรมชาติของการแกว่ง *

สมการการสั่นแบบหน่วง

ที่ไหน ที่)- แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงในขณะนั้น เสื้อ;ω คือความถี่เชิงมุมของพวกมัน

ความถี่เชิงมุมของการสั่นแบบหน่วง

О ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงตรงเวลา

ฉัน

ที่ไหน ก 0 - แอมพลิจูดของการสั่นในขณะนั้น ที=0.

การลดลงของการสั่นแบบลอการิทึม

ที่ไหน ที่)และ เอ(ที+ที)- แอมพลิจูดของการแกว่งสองครั้งต่อเนื่องกันโดยแยกจากกันด้วยช่วงเวลาหนึ่งช่วง

สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งแบบบังคับ

โดยที่แรงคาบภายนอกที่กระทำต่อจุดวัสดุที่กำลังสั่นและทำให้เกิดการสั่นแบบบังคับ เอฟ 0 - ค่าแอมพลิจูดของมัน

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ

ความถี่เรโซแนนซ์และแอมพลิจูดเรโซแนนซ์ และ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จุดแกว่งไปแกว่งมาตามกฎหมาย x(เสื้อ)=, ที่ไหน ก=2ดู กำหนดเฟสเริ่มต้น φ ถ้า

x(0)=ซม. และ เอ็กซ์ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента ที=0.

สารละลาย. ลองใช้สมการการเคลื่อนที่และแสดงการกระจัดในขณะนั้น ที=0 ผ่านระยะเริ่มต้น:

จากที่นี่เราจะพบระยะเริ่มต้น:

* ในสูตรที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ปริมาณเดียวกันถูกกำหนดไว้เพียง ω (โดยไม่มีดัชนี 0)

ลองแทนค่าที่กำหนดลงในนิพจน์นี้ x(0) และ ตอบ:φ= = - ค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นไปตามค่ามุมสองค่า:

เพื่อตัดสินใจว่าค่าใดของมุม φ ที่ตรงตามเงื่อนไข อันดับแรกเราจะพบ:

การแทนค่าลงในนิพจน์นี้ ที=0 และสลับค่าของเฟสเริ่มต้นและเราพบ

ต เหมือนเช่นเคย ก>0 และ ω>0 ดังนั้นเฉพาะค่าแรกของเฟสเริ่มต้นเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไข ดังนั้นระยะเริ่มต้นที่ต้องการ

การใช้ค่าที่พบของ φ เราสร้างไดอะแกรมเวกเตอร์ (รูปที่ 6.1) ตัวอย่างที่ 2จุดวัสดุกับมวล ต=5 g ทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่ ν =0.5 เฮิรตซ์ แอมพลิจูดของการสั่น ก=3 ซม. กำหนด: 1) ความเร็ว υ ชี้ไปที่เวลาที่เกิดการกระจัด x== 1.5 ซม. 2) แรงสูงสุด F สูงสุดที่กระทำต่อจุด; 3) มะเดื่อ 6.1 พลังงานทั้งหมด อีจุดสั่น

และเราได้สูตรความเร็วโดยการหาอนุพันธ์ครั้งแรกของการกระจัด:

ในการแสดงความเร็วผ่านการกระจัด จำเป็นต้องแยกเวลาออกจากสูตร (1) และ (2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะยกกำลังสองสมการทั้งสองและหารสมการแรกด้วย ก 2 , อันที่สองบน A 2 ω 2 และเพิ่ม:

, หรือ

ต้องแก้สมการสุดท้ายสำหรับυแล้ว , เราจะพบ

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราก็จะได้

เครื่องหมายบวกตรงกับกรณีที่ทิศทางของความเร็วเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน เอ็กซ์,เครื่องหมายลบ - เมื่อทิศทางของความเร็วเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางลบของแกน เอ็กซ์

การกระจัดระหว่างการสั่นฮาร์มอนิก นอกเหนือจากสมการ (1) ยังสามารถกำหนดได้จากสมการอีกด้วย

ทำซ้ำคำตอบเดียวกันกับสมการนี้ เราก็ได้คำตอบเหมือนกัน

2. เราค้นหาแรงที่กระทำต่อจุดหนึ่งโดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน:

ที่ไหน เอ -ความเร่งของจุดที่เราได้รับจากการหาอนุพันธ์ของเวลาของความเร็ว:

เราได้การแทนที่นิพจน์ความเร่งเป็นสูตร (3)

ดังนั้นค่าแรงสูงสุด

แทนค่าของ π, ν ลงในสมการนี้ ตและ เอ,เราจะพบ

3. พลังงานรวมของจุดสั่นคือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่คำนวณ ณ เวลาใดๆ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพลังงานทั้งหมดคือช่วงเวลาที่พลังงานจลน์ถึงค่าสูงสุด ในขณะนี้พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานทั้งหมด อีจุดสั่นเท่ากับพลังงานจลน์สูงสุด

เรากำหนดความเร็วสูงสุดจากสูตร (2) โดยใส่: - เราพบการแทนที่นิพจน์สำหรับความเร็วเป็นสูตร (4)

เราได้รับค่าแทนค่าของปริมาณลงในสูตรนี้และทำการคำนวณ

หรือ µJ

ตัวอย่างที่ 3ที่ปลายก้านเรียวบางยาว คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์= 1 เมตร และมวล ม 3 =400 กรัมเสริมลูกบอลขนาดเล็กที่มีมวล ม 1 =200 ก และ ม 2 =300ก. แท่งจะแกว่งไปรอบแกนนอนตั้งฉาก

มีลักษณะเป็นวงกลมกับแกนและผ่านตรงกลาง (จุด O ในรูปที่ 6.2) กำหนดระยะเวลา ตการสั่นที่เกิดจากไม้เรียว

สารละลาย. คาบของการแกว่งของลูกตุ้มทางกายภาพ เช่น ไม้เรียวที่มีลูกบอล ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

ที่ไหน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ- ที -มวลของมัน คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ กับ - ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มนี้เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอล ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 1 และ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 2 และคัน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 3:

เมื่อนำลูกบอลเป็นจุดวัสดุ เราจะแสดงช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย:

เนื่องจากแกนเคลื่อนผ่านตรงกลางของแกน โมเมนต์ความเฉื่อยของมันสัมพันธ์กับแกนนี้ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 3 = =. การแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 1 , ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 2 และ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 3 ในสูตร (2) เราพบโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของลูกตุ้มทางกายภาพ:

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราจะพบ

ข้าว. 6.2 มวลของลูกตุ้มประกอบด้วยมวลของลูกบอลและมวลของแกน:

ระยะทาง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ กับ เราจะหาจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการสั่นโดยพิจารณาจากข้อพิจารณาต่อไปนี้ ถ้าเป็นแกน เอ็กซ์ตรงไปตามแกนและจัดตำแหน่งที่มาของพิกัดให้ตรงกับจุด เกี่ยวกับ,แล้วตามระยะทางที่ต้องการ คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เท่ากับพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มนั่นคือ

การแทนค่าของปริมาณ ม 1 , ม 2 , ม, คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์และหลังจากคำนวณแล้วเราก็พบ

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตร (1) เราจะได้คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ:

ตัวอย่างที่ 4ลูกตุ้มทางกายภาพคือแท่งที่มีความยาว คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์= 1 เมตร และมวล 3 ต 1 กับติดกับปลายด้านหนึ่งด้วยห่วงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางและมวล ต 1 . แกนนอน ออนซ์

ลูกตุ้มผ่านตรงกลางของแกนตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 6.3) กำหนดระยะเวลา ตการแกว่งของลูกตุ้มดังกล่าว

สารละลาย. คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพถูกกำหนดโดยสูตร

(1)

ที่ไหน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ- โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนของการสั่น ที -มวลของมัน คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ค - ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกนการสั่น

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแกน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 1 และห่วง ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 2:

(2).

โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับแท่งและผ่านจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดยสูตร - ในกรณีนี้ เสื้อ= 3ต 1 และ

เราค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของห่วงโดยใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ ,ที่ไหน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ- โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนใดก็ได้ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 0 - โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลขนานกับแกนที่กำหนด เอ -ระยะห่างระหว่างแกนที่ระบุ เราจึงได้การใช้สูตรนี้กับห่วง

การแทนที่นิพจน์ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 1 และ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ 2 ในสูตร (2) เราค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนการหมุน:

ระยะทาง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ กับ จากแกนของลูกตุ้มถึงจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับ

การแทนที่นิพจน์ลงในสูตร (1) ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ, คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ s และมวลของลูกตุ้ม เราจะหาคาบของการแกว่งของมัน:

หลังจากคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราจะได้ ต=2.17 วิ

ตัวอย่างที่ 5การแกว่งในทิศทางเดียวกันสองครั้งจะถูกเพิ่มเข้าไป ซึ่งแสดงโดยสมการ เอ็กซ์ 2 = =, ที่ไหน ก 1 = 1 ซม. ก 2 =2 ซม., ส, ส, ω = = 1. กำหนดเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ของส่วนประกอบของออสซิลเลเตอร์

บานิยา. 2. ค้นหาแอมพลิจูด กและระยะเริ่มต้น φ ของการแกว่งที่เกิดขึ้น เขียนสมการของการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้น

สารละลาย. 1. สมการของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกมีรูปแบบ

ให้เราแปลงสมการที่ระบุในคำชี้แจงปัญหาให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน:

จากการเปรียบเทียบนิพจน์ (2) ด้วยความเท่าเทียมกัน (1) เราจะพบระยะเริ่มต้นของการแกว่งครั้งแรกและครั้งที่สอง:

ดีใจและ ยินดี.

2. เพื่อกำหนดแอมพลิจูด กของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะสะดวกในการใช้แผนภาพเวกเตอร์ที่นำเสนอ ข้าว. 6.4. ตามทฤษฎีบทโคไซน์ เราได้

ความแตกต่างของเฟสของส่วนประกอบการสั่นอยู่ที่ไหน จากนั้นโดยการแทนที่ค่าที่พบของ φ 2 และ φ 1 เราจะได้ rad

ลองแทนค่าต่างๆ กัน ก 1 , ก 2 และเข้าสู่สูตร (3) แล้วทำการคำนวณ:

ก= 2.65 ซม.

ขอให้เรากำหนดแทนเจนต์ของเฟสเริ่มต้น φ ของการแกว่งที่เกิดขึ้นโดยตรงจากรูปที่ 6.4: ,ระยะเริ่มต้นมาจากไหน?

แปรผันตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์:

ที่ไหน เอ็กซ์- มูลค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ ขณะนั้น ที, ก- แอมพลิจูด ω - ความถี่วงกลม φ — ระยะเริ่มต้นของการสั่น ( φt + φ ) - การแกว่งแบบเต็มเฟส ขณะเดียวกันก็มีคุณค่า ก, ω และ φ - ถาวร.

สำหรับการสั่นสะเทือนทางกลที่มีขนาดผันผวน เอ็กซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจัดและความเร็วสำหรับการสั่นสะเทือนทางไฟฟ้า - แรงดันและกระแส

การแกว่งของฮาร์มอนิกครอบครองสถานที่พิเศษในบรรดาการแกว่งทุกประเภท เนื่องจากนี่เป็นการแกว่งประเภทเดียวที่รูปร่างไม่บิดเบี้ยวเมื่อผ่านตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ คลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดของการสั่นของฮาร์มอนิกก็จะเป็นแบบฮาร์มอนิกเช่นกัน การสั่นแบบไม่ฮาร์มอนิกใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวม (จำนวนเต็ม) ของการสั่นแบบฮาร์มอนิกต่างๆ (ในรูปของสเปกตรัมของการสั่นแบบฮาร์มอนิก)

การเปลี่ยนแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน การถ่ายโอนพลังงานที่อาจเกิดขึ้น วพถึงจลน์ศาสตร์ สัปดาห์และในทางกลับกัน ที่ตำแหน่งเบี่ยงเบนสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์สูงสุด พลังงานจลน์เป็นศูนย์ เมื่อมันกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ความเร็วของตัวการสั่นจะเพิ่มขึ้น และพลังงานจลน์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน โดยถึงจุดสูงสุดในตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ลดลงเหลือศูนย์ การเคลื่อนไหวเพิ่มเติมจะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร็วที่ลดลง ซึ่งจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อการโก่งตัวถึงค่าสูงสุดที่สอง พลังงานศักย์ที่นี่จะเพิ่มขึ้นเป็นค่าเริ่มต้น (สูงสุด) (ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน) ดังนั้น การแกว่งของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จึงเกิดขึ้นด้วยความถี่สองเท่า (เมื่อเทียบกับการแกว่งของลูกตุ้มเอง) และอยู่ในแอนติเฟส (กล่าวคือ มีการเปลี่ยนเฟสระหว่างความถี่ทั้งสองเท่ากับ π - พลังงานการสั่นสะเทือนทั้งหมด วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับวัตถุที่แกว่งไปมาภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น จะเท่ากับ:

ที่ไหน วี ม— ความเร็วสูงสุดของร่างกาย (ในตำแหน่งสมดุล) x ม. = ก- แอมพลิจูด

เนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานและความต้านทานของตัวกลาง การสั่นสะเทือนอิสระจึงลดทอนลง: พลังงานและแอมพลิจูดของพวกมันจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้นในทางปฏิบัติ การสั่นแบบบังคับจึงถูกนำมาใช้บ่อยกว่าการสั่นแบบอิสระ

การเลือกเฟสเริ่มต้นช่วยให้เราสามารถย้ายจากฟังก์ชันไซน์ไปเป็นฟังก์ชันโคไซน์เมื่ออธิบายการสั่นของฮาร์มอนิก:

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล:

เพื่อให้การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นตามกฎฮาร์มอนิก จำเป็นที่แรงที่โน้มน้าวให้ร่างกายกลับสู่ตำแหน่งสมดุลจะต้องเป็นสัดส่วนกับการกระจัดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุลและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด:

มวลของตัวสั่นอยู่ที่ไหน

ระบบทางกายภาพที่สามารถเกิดการสั่นของฮาร์มอนิกได้เรียกว่า ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก,และสมการของการสั่นฮาร์มอนิกคือ สมการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

1.2. เพิ่มการสั่นสะเทือน

มักมีกรณีที่ระบบมีส่วนร่วมในการสั่นสองครั้งหรือหลายครั้งพร้อมกันโดยเป็นอิสระจากกัน ในกรณีเหล่านี้ จะเกิดการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลชันที่ซับซ้อนขึ้น ซึ่งเกิดจากการซ้อน (เพิ่ม) การออสซิลเลชันซึ่งกันและกัน แน่นอนว่ากรณีการเพิ่มการสั่นอาจมีความหลากหลายมาก พวกมันไม่เพียงขึ้นอยู่กับจำนวนของการออสซิลเลชั่นที่เพิ่มเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของการออสซิลเลชั่น ความถี่ เฟส แอมพลิจูด และทิศทางด้วย ไม่สามารถทบทวนกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้ของการเพิ่มการแกว่งได้ทั้งหมด ดังนั้นเราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาเฉพาะตัวอย่างแต่ละรายการเท่านั้น

การบวกของการสั่นฮาร์มอนิกที่พุ่งไปตามเส้นตรงเส้นเดียว

ให้เราพิจารณาการเพิ่มการแกว่งที่มีทิศทางเหมือนกันในช่วงเวลาเดียวกัน แต่จะแตกต่างกันในระยะเริ่มต้นและแอมพลิจูด สมการของการแกว่งที่เพิ่มจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

ที่ไหนและมีการกระจัด; และ – แอมพลิจูด; และเป็นระยะเริ่มต้นของการแกว่งแบบพับ

รูปที่ 2.

สะดวกในการกำหนดแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นโดยใช้แผนภาพเวกเตอร์ (รูปที่ 2) ซึ่งมีการพล็อตเวกเตอร์ของแอมพลิจูดและการแกว่งที่เพิ่มที่มุมและกับแกนและตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานเวกเตอร์แอมพลิจูดของ จะได้ค่าการสั่นทั้งหมด

หากคุณหมุนระบบเวกเตอร์ (สี่เหลี่ยมด้านขนาน) อย่างสม่ำเสมอ และฉายเวกเตอร์ลงบนแกน , จากนั้นเส้นโครงของพวกเขาจะทำการแกว่งฮาร์มอนิกตามสมการที่กำหนด ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์ และยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นการเคลื่อนที่ของการแกว่งของการฉายภาพของเวกเตอร์ผลลัพธ์ก็จะเป็นแบบฮาร์มอนิกเช่นกัน

จากนี้จึงเป็นไปตามที่การเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นการแกว่งแบบฮาร์มอนิกซึ่งมีความถี่เป็นวงรอบที่กำหนด ลองพิจารณาโมดูลัสของแอมพลิจูด กความผันผวนที่เกิดขึ้น เข้าไปในมุม (จากความเท่ากันของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่: .

ตามทฤษฎีบทโคไซน์ จะได้ว่า

ระยะเริ่มต้นของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะพิจารณาจาก:

ความสัมพันธ์ของเฟสและแอมพลิจูดช่วยให้เราสามารถค้นหาแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นและเขียนสมการ: .

เต้น

ลองพิจารณากรณีที่ความถี่ของการแกว่งทั้งสองที่เพิ่มเข้ามาแตกต่างกันเล็กน้อย และปล่อยให้แอมพลิจูดเท่ากันและเฟสเริ่มต้น นั่นคือ

ลองเพิ่มสมการเหล่านี้ในเชิงวิเคราะห์:

มาแปลงร่างกันเถอะ

ข้าว. 3.

เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ปริมาณจึงไม่สามารถเรียกว่าแอมพลิจูดในความหมายเต็มของคำได้ (แอมพลิจูดคือปริมาณคงที่) ตามอัตภาพ ค่านี้สามารถเรียกว่าแอมพลิจูดแบบแปรผันได้ กราฟของการแกว่งดังกล่าวแสดงในรูปที่ 3 การแกว่งที่เพิ่มเข้ามาจะมีแอมพลิจูดเท่ากัน แต่คาบจะต่างกัน และคาบจะต่างกันเล็กน้อย เมื่อรวมการสั่นสะเทือนดังกล่าวเข้าด้วยกัน จะสังเกตจังหวะ จำนวนครั้งต่อวินาทีถูกกำหนดโดยความแตกต่างในความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มเข้าไป เช่น

สามารถสังเกตการตีได้เมื่อส้อมเสียงสองตัวดังขึ้นหากความถี่และการสั่นสะเทือนอยู่ใกล้กัน

เพิ่มการสั่นสะเทือนตั้งฉากกัน

ปล่อยให้จุดวัสดุมีส่วนร่วมในการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกสองครั้งพร้อมกันซึ่งมีคาบเท่ากันในสองทิศทางตั้งฉากกัน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถเชื่อมโยงกับทิศทางเหล่านี้ได้โดยการวางจุดกำเนิดไว้ที่ตำแหน่งสมดุลของจุด ให้เราแสดงการกระจัดของจุด C ตามแกน และ ตามลำดับ ผ่าน และ . (รูปที่ 4)

ลองพิจารณากรณีพิเศษหลายกรณี

1). ระยะเริ่มต้นของการสั่นจะเหมือนกัน

ให้เราเลือกจุดเริ่มต้นเพื่อให้ระยะเริ่มต้นของการแกว่งทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นการกระจัดตามแนวแกนและสามารถแสดงได้ด้วยสมการ:

เมื่อหารความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้สมการสำหรับวิถีโคจรของจุด C:
หรือ .

ด้วยเหตุนี้ จากการเพิ่มการสั่นที่ตั้งฉากกันสองครั้ง จุด C จึงแกว่งไปตามแนวเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 4)

ข้าว. 4.

2). ความแตกต่างของเฟสเริ่มต้นคือ :

สมการการแกว่งในกรณีนี้มีรูปแบบ:

สมการวิถีจุด:

ด้วยเหตุนี้ จุด C จึงแกว่งไปตามแนวเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด แต่อยู่ในจตุภาคที่แตกต่างจากในกรณีแรก แอมพลิจูด กการแกว่งที่เกิดขึ้นในทั้งสองกรณีที่พิจารณาจะเท่ากับ:

3). ความแตกต่างของเฟสเริ่มต้นคือ .

สมการการแกว่งมีรูปแบบ:

หารสมการแรกด้วย สมการที่สองด้วย :

ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันแล้วบวกกัน เราได้รับสมการต่อไปนี้สำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของจุดสั่นที่เกิดขึ้น:

จุดสั่น C เคลื่อนที่ไปตามวงรีโดยมีครึ่งแกน และ สำหรับแอมพลิจูดที่เท่ากัน วิถีการเคลื่อนที่ทั้งหมดจะเป็นวงกลม ในกรณีทั่วไป for แต่มีหลายรายการ เช่น เมื่อบวกการสั่นตั้งฉากซึ่งกันและกัน จุดที่สั่นจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งที่เรียกว่าตัวเลขลิสซาจูส

ตัวเลขลิสซาจูส

ตัวเลขลิสซาจูส– วิถีปิดที่วาดโดยจุดที่ทำการสั่นฮาร์มอนิกสองครั้งพร้อมกันในสองทิศทางตั้งฉากกัน

ศึกษาครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jules Antoine Lissajous การปรากฏตัวของตัวเลขขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างคาบ (ความถี่) เฟส และแอมพลิจูดของการแกว่งทั้งสอง(รูปที่ 5)

รูปที่ 5

ในกรณีที่ง่ายที่สุดของความเท่าเทียมกันของทั้งสองคาบ ตัวเลขจะเป็นวงรี ซึ่งหากมีความแตกต่างเฟสจะเสื่อมลงเป็นส่วนตรง และด้วยความแตกต่างของเฟสและแอมพลิจูดที่เท่ากัน พวกมันจะกลายเป็นวงกลม หากระยะเวลาของการแกว่งทั้งสองไม่ตรงกัน ความแตกต่างของเฟสจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ส่งผลให้วงรีเปลี่ยนรูปตลอดเวลา ในช่วงเวลาที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ จะไม่พบตัวเลขของลิสซาจูส อย่างไรก็ตาม หากช่วงเวลามีความสัมพันธ์กันเป็นจำนวนเต็ม หลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับผลคูณที่น้อยที่สุดของทั้งสองช่วง จุดที่เคลื่อนที่จะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอีกครั้ง - จะได้ตัวเลข Lissajous ที่มีรูปร่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
ตัวเลข Lissajous พอดีกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งจุดศูนย์กลางตรงกับที่มาของพิกัดและด้านข้างขนานกับแกนพิกัดและตั้งอยู่ทั้งสองด้านในระยะทางเท่ากับแอมพลิจูดของการสั่น (รูปที่ 6)

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการสั่นสะเทือน

บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบสั่น

การสั่นกระบวนการที่แตกต่างกันตามระดับความสามารถในการทำซ้ำที่แตกต่างกันเรียกว่ากระบวนการ

คุณสมบัติของความสามารถในการทำซ้ำนี้มีอยู่ เช่น โดยการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา การสั่นสะเทือนของสายหรือขาของส้อมเสียง แรงดันไฟฟ้าระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรเครื่องรับวิทยุ เป็นต้น

ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการทำซ้ำ การสั่นสะเทือนจะแตกต่างกัน:

– เครื่องกล;

– แม่เหล็กไฟฟ้า;

– ระบบเครื่องกลไฟฟ้า ฯลฯ

ขึ้นอยู่กับลักษณะของผลกระทบต่อระบบการสั่นดังต่อไปนี้:

– ฟรี (หรือเป็นเจ้าของ);

– บังคับ;

– การสั่นไหวในตัวเอง;

– การแกว่งแบบพาราเมตริก

ฟรีหรือ เป็นเจ้าของเรียกว่าการสั่นที่เกิดขึ้นในระบบทิ้งไว้กับตัวมันเองหลังจากที่ถูกผลักหรือถูกดึงออกจากตำแหน่งสมดุล ตัวอย่างคือการแกว่งของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย (ลูกตุ้ม)

บังคับเรียกว่าการสั่นดังกล่าว ในระหว่างที่ระบบการสั่นสัมผัสกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ

การสั่นด้วยตนเองจะมาพร้อมกับอิทธิพลของแรงภายนอกที่มีต่อระบบการสั่น อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลาเมื่ออิทธิพลเหล่านี้ถูกดำเนินการจะถูกกำหนดโดยระบบการสั่นนั้นเอง - ระบบเองจะควบคุมอิทธิพลภายนอก ตัวอย่างของระบบการสั่นในตัวเองคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มรับแรงกระแทกเนื่องจากพลังงานของน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นหรือสปริงที่บิดเบี้ยว และแรงกระแทกเหล่านี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งตรงกลาง

ที่ พารามิเตอร์ในการแกว่งเนื่องจากอิทธิพลภายนอก การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในพารามิเตอร์บางอย่างของระบบจะเกิดขึ้น เช่น ความยาวของเกลียวลูกตุ้ม

ที่ง่ายที่สุดคือ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกกล่าวคือ การแกว่งซึ่งปริมาณการสั่น (เช่น การโก่งตัวของลูกตุ้ม) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

การเคลื่อนไหวที่สำคัญที่สุดในการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลชั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลชั่นแบบง่ายหรือแบบฮาร์โมนิค

ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวดังกล่าวสามารถเปิดเผยได้ดีที่สุดโดยใช้แบบจำลองจลนศาสตร์ต่อไปนี้ ให้เราสมมุติว่าจุดเรขาคณิต มหมุนอย่างสม่ำเสมอรอบวงกลมรัศมี a ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ (รูปที่ 6.1) การฉายภาพของเธอ เอ็นต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง เช่น ต่อเพลา เอ็กซ์จะทำการเคลื่อนไหวแบบสั่นจากตำแหน่งสุดขั้วไปยังตำแหน่งสุดขั้วอีกตำแหน่งหนึ่งและถอยหลัง การสั่นของจุดดังกล่าว เอ็นเรียกว่าการสั่นสะเทือนแบบธรรมดาหรือแบบฮาร์มอนิก

ในการอธิบาย คุณต้องหาพิกัดก่อน xคะแนน เอ็นเป็นหน้าที่ของเวลา ที- ให้เราสมมติว่า ณ เวลาเริ่มต้น รัศมี OM ก่อตัวขึ้นพร้อมกับแกน เอ็กซ์มุม . หลังจากเวลา t มุมนี้จะเพิ่มขึ้นและเท่ากัน จากรูป 6.1. มันชัดเจนว่า

. (6.1)

สูตรนี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกของจุดในเชิงวิเคราะห์ เอ็นตามเส้นผ่านศูนย์กลาง

ขนาด กให้ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดที่สั่นจากตำแหน่งสมดุล มันเรียกว่า แอมพลิจูดความผันผวน เรียกว่าค่า 0 ความถี่วงจร- ปริมาณเรียกว่า เฟสการแกว่ง และค่าของมันที่ เช่น ขนาด – หลักเฟส หลังจากเวลาผ่านไป

เฟสได้รับการเพิ่มขึ้น และจุดสั่นจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมในขณะที่ยังคงทิศทางการเคลื่อนที่เริ่มต้นไว้ เวลา ตเรียกว่าช่วงเวลาแห่งความสั่นคลอน

ความเร็วของจุดสั่นสามารถพบได้โดยการแสดงออกที่แตกต่าง (6.1) ตามเวลา นี้จะช่วยให้

เมื่อสร้างความแตกต่างเป็นครั้งที่สอง เราจะได้ความเร่ง

หรือใช้ (6.1)

แรงที่กระทำต่อจุดวัสดุระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกมีค่าเท่ากับ

. (6.6)

เป็นสัดส่วนกับส่วนเบี่ยงเบน x และมีทิศทางตรงกันข้าม มันจะมุ่งสู่ตำแหน่งสมดุลเสมอ

ลองพิจารณาการแกว่งของฮาร์มอนิกของโหลดบนสปริง ซึ่งปลายด้านหนึ่งได้รับการแก้ไขแล้ว และวัตถุที่มีมวลถูกแขวนลอยจากอีกด้านหนึ่ง ม(รูปที่ 6.2) อนุญาต เป็นความยาวของสปริงที่ไม่มีรูปร่าง หากสปริงถูกยืดหรือบีบอัดจนมีความยาว คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์แล้วพลังก็เกิดขึ้น เอฟที่ต้องการให้ร่างกายกลับสู่สภาวะสมดุล สำหรับการยืดเส้นเล็ก ๆ ก็ใช้ได้ กฎของฮุค– แรงแปรผันตามการยืดตัวของสปริง: ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ สมการการเคลื่อนที่ของร่างกายจะมีรูปแบบ

คงที่ เคเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นหรือความแข็งของสปริง เครื่องหมายลบหมายถึงความแข็งแกร่ง เอฟมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด xนั่นคือสู่ตำแหน่งสมดุล

เมื่อได้สมการ (6.7) สันนิษฐานว่าไม่มีแรงอื่นมากระทำต่อร่างกาย ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าสมการเดียวกันนี้ควบคุมการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แขวนอยู่บนสปริงในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ ในกรณีนี้เราแสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์การยืดตัวของสปริงเช่น ความแตกต่าง . สปริงจะดึงโหลดขึ้นด้วยแรง และแรงโน้มถ่วงจะดึงโหลดลง สมการการเคลื่อนที่มีรูปแบบ

ให้แสดงถึงการยืดตัวของสปริงในตำแหน่งสมดุล แล้ว - ไม่รวมน้ำหนักเราก็ได้ - เราใช้สัญกรณ์ แล้วสมการการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปแบบเดียวกัน (6.7) ค่า x ยังคงหมายถึงการกระจัดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้เมื่อมีแรงโน้มถ่วง ความหมายของปริมาณก็จะเปลี่ยนไป ตอนนี้หมายถึงผลลัพธ์ของแรงดึงของสปริงและน้ำหนักของโหลด แต่ทั้งหมดนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น เราจึงสามารถให้เหตุผลราวกับว่าไม่มีแรงโน้มถ่วงเลย นั่นคือสิ่งที่เราจะทำ

แรงที่เกิดขึ้นจะมีรูปแบบเดียวกับแรงในนิพจน์ (6.6) ถ้าเราตั้งค่า สมการ (6.7) จะกลายเป็น

. (6.8)

สมการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (6.5) ฟังก์ชัน (6.1) เป็นวิธีแก้สมการสำหรับค่าใด ๆ ของค่าคงที่ กและก. นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป จากที่กล่าวมาข้างต้น ภาระบนสปริงจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่วงกลม

และช่วงเวลา

. (6.10)

การแกว่งที่อธิบายโดยสมการ (6.8) คือ ฟรี(หรือ เป็นเจ้าของ).

พลังงานศักย์และพลังงานจลน์ของร่างกายได้มาจากการแสดงออก

. (6.11)

แต่ละคนเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา อย่างไรก็ตามผลรวมของพวกเขา อีจะต้องคงที่ตลอดเวลา:

(6.12)

ทุกสิ่งที่ระบุในที่นี้ใช้ได้กับการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกของระบบกลไกใดๆ ที่มีอิสระระดับหนึ่ง ตำแหน่งทันทีของระบบกลไกที่มีระดับความอิสระหนึ่งระดับสามารถกำหนดได้โดยใช้ปริมาณใดปริมาณหนึ่ง ถามเรียกว่าพิกัดทั่วไป เช่น มุมการหมุน การกระจัดตามเส้นบางเส้น เป็นต้น อนุพันธ์ของพิกัดทั่วไปเทียบกับเวลาเรียกว่าความเร็วทั่วไป เมื่อพิจารณาการแกว่งของระบบเครื่องกลด้วยระดับความอิสระระดับหนึ่ง จะสะดวกกว่าที่จะพิจารณาว่าเป็นสมการเริ่มต้น ไม่ใช่สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน แต่เป็นสมการพลังงาน ให้เราสมมติว่าระบบกลไกนั้นมีศักยภาพและพลังงานจลน์ของมันแสดงออกมาตามสูตรของรูปแบบ

, (6.14)

โดยที่ d และ b เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก (พารามิเตอร์ของระบบ) จากนั้นกฎการอนุรักษ์พลังงานจะนำไปสู่สมการ

. (6.15)

มันแตกต่างจากสมการ (6.12) ในรูปแบบสัญกรณ์เท่านั้น ซึ่งไม่สำคัญเมื่อพิจารณาทางคณิตศาสตร์ จากอัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของสมการ (6.12) และ (6.15) จะได้ว่าคำตอบทั่วไปของสมการทั้งสองเหมือนกัน ดังนั้นหากสมการพลังงานลดลงเหลือรูปแบบ (6.15) แล้ว

, (6.16)

เช่น พิกัดทั่วไป ถามทำการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่วงกลม

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายในระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วสมการการสั่นสะเทือนถือเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขจึงมีความจำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรง และไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้