ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

На разработку конструкции прибора инженер тратить достаточно много времени. Изменяя и модифицируя конструкцию прибора. Почему, например, бытовой вентилятор имеет именно такую форму? Конструкция должна быть, такой что бы вентилятор не падал и прочно стоял перпендикулярно полу при работе. Конструкцию этого бытового прибора можно перенести на чертёж.

Пол мы заменим на плоскость α, штангу вентилятора изобразим в виде прямой а, ножки крепления в виде прямых b и с.

Предположим, что если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Докажем предположение.

Рассмотрим нашу прямую а, которая будет перпендикулярна пересекающимся прямым b и с, лежащим в плоскости α. Обозначим точку пересечения прямых-точкой М.

Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α.

Так как мы знаем, что прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то нам нужно доказать перпендикулярность прямой а произвольной прямой х.

Для доказательства построим дополнительно прямую у, параллельную прямой х и проходящую через точку М.

Дополнительно на прямой а отметим точки М1 и М2 так, чтобы точка М была серединой отрезка М1М2.

Так же проведём прямую в плоскости, пересекающую прямые b, с, у в точках В,С,Y соответственно.

Соединим полученные точки с концами отрезка М1М2. Так как прямые b и с перпендикулярны к прямой а и проходят через середину отрезка М1М2, то их можно назвать серединными перпендикулярами к отрезку М1М2. Тогда точки В и С равноудалены от концов отрезка, то есть отрезок М1В равен отрезку ВМ2, а отрезок М1С равен отрезку СМ2.

Треугольник ВМ1М равен треугольнику ВМ2М по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что угол М1ВY равен углу.

Тогда треугольники М1ВY равен треугольнику М2ВY по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков М1Y и M2Y.

Это означает что треугольник М1YМ2 равнобедренный с основанием М1М2 и отрезок YМ его медиана, а по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию треугольника, отрезок YМ является высотой, значит прямые у и а, содержащие эти отрезки, можно считать перпендикулярными.

Прямая у перпендикулярна прямой а, и параллельна прямой х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой следует, что прямая х также перпендикулярна прямой а.

Итак, прямая а перпендикулярна любой прямой х, значит перпендикулярна плоскости α.

Но в этой теореме возможен ещё один случай расположения прямой а, который не демонстрирует наша конфигурация чертежа. Когда прямая а не проходит через точку пересечения прямых b и с.

Докажем и этот вариант.

В этом случае проведём прямую а1, параллельную прямой а и проходящую через точку М.

Важно вспомнить теорему изученную на предыдущем уроке:

если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Так как прямая а перпендикулярна прямым b и с и параллельна прямой а1, то по лемме прямая а1 тоже будет перпендикулярна прямым b и с.

В этом расположении прямых мы уже доказали перпендикулярность прямой к плоскости.

Но тогда если прямая а1 перпендикулярна плоскости и параллельна прямой а, то по теореме 1 прямая а перпендикулярна плоскости α.

Эта теорема даёт возможность доказать перпендикулярность прямой плоскости с указанием перпендикулярности только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, а не любой прямой. В геометрии данное утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Дан треугольник АВС с суммой углов А и В в 90 градусов. Прямая ВD проведена перпендикулярно к плоскости треугольника АВС.

Прямая СD лежит в плоскости треугольника ВСD.

Треугольник АВС прямоугольный, так как угол АСВ равен разности 180 градусов и суммы углов А и В. Значит прямая АС перпендикулярна прямой ВС.

По условию прямая BD перпендикулярна плоскости АВС, значит она перпендикулярна прямой АС.

Тогда прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и ВD лежащим в плоскости треугольника ВСD, значит АС перпендикулярна к плоскости ВСD и перпендикулярна прямой СD лежащей в этой плоскости.

Рассмотри ещё пример решения задачи.

Даны два квадрата АВСD и АВEF.Они расположены так, что бы сторона AD AF.

Так как АВEF- квадрат, то прямая AВ перпендикулярна стороне AF.

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АF плоскости квадрата АВСD и прямой ВС лежащей в этой плоскости.

По определению квадрата АВСD сторона ВС перпендикулярна прямой АВ, но прямая АВ параллельна прямой FЕ плоскости АВEF, следовательно по лемме о параллельных прямых перпендикулярных к третьей прямой, прямая FE перпендикулярна прямой ВС.

Таким образом, прямая ВС перпендикулярна пересекающимся прямым АF и FE лежащим в плоскости AEF, что следовательно по признаку перпендикулярности прямой к плоскости, значит прямая ВС перпендикулярна к плоскости AEF.

В дальнейшем с помощью данного признака будут доказаны несколько главных теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей в просранстве.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Презентации представляют некоторую последовательность кадров, содержащих текст, либо рисунок, либо то и другое.

Художник, создающий картину, видит конечную цель своего замысла. Зрители, оценивающие картину, также интересуются конечным результатом. Путь, по которому прошел художник, часто остается тайной даже для искусствоведов.

Учитель, объясняющий новую тему, напротив, заинтересован показать последовательность получения результата, его отдельные шаги, или, если можно так выразиться, «алгоритм» его получения.

Известный математик и астроном Жюль Анри Пуанкаре (1854 – 1912) объяснял свои успехи тем, что он запоминает алгоритмы, а не факты. Запомнить алгоритм, то есть логическую последовательность, проще, чем отдельный факт.

Ученик так же лучше бы понимал алгоритм. Однако учебник часто не содержит всех промежуточных этапов получения решения, особенно это касается построения рисунков. Обычно показывается окончательный рисунок, содержащий много элементов, что не способствует пониманию и запоминанию ее учеником.

Поэтапный или поэлементный показ текста и рисунка в учебнике невозможен. Это привело бы к увеличению его объема.

Существуют программы, дающие учителю возможность создания презентаций, например,

программа Power Point, имеющая богатые возможности для создания кадров и навигации. Однако в этой программе отсутствует возможность поэлементного раскрытия содержания рисунка. Рисунок показывается полностью, либо показывается какая-то его часть, а для того, чтобы последовательно показать изменения рисунка, необходимо создавать новые рисунки и показывать их последовательно, что увеличивает размер программы и требует точного совмещения положений рисунков, так как даже небольшие отклонения приводят к смещению рисунка и затрудняют его восприятие.

Между тем, существует свободно распространяемая система LaTex, включающая пакеты Beamer и Tikz, позволяющая как создавать презентации, так и постепенно показывать рисунок, не изменяя кадр целиком, а добавляя элементы рисунка. Данная возможность особенно важна при показе сложных рисунков, имеющих много элементов. При показе всего рисунка ученику сложно сразу осознать, каким образом и в какой последовательности создавались элементы рисунка, что затрудняет его понимание.

Цель данной презентации состоит в том, чтобы показать возможности, предоставляемые указанными выше пакетами, для создания постепенно раскрываемого содержания кадров (слайдов). Практическое применение подобных презентаций показало их более высокую эффективность в процессе изучения, особенно разделов, требующих рассмотрения достаточно сложных чертежей. К таким разделам относится тема «Признак перпендикулярности прямой и плоскости».

Приведем краткое содержание презентации.

Сначала показывается название презентации (слайд 1). Затем следует эпиграф, на каждом уроке различный (слайды 2, 3), а за ним цель урока (слайды 4–7), раскрываемые на экране последовательно.

1. Повторить теоретический материал предыдущего урока (слайд 4).
2. Решить задачу 119 (слайд 5).
3. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 6).
4. Показать применение признака перпендикулярности при решении задач (слайд 7).

Повторение темы «Перпендикулярные прямые».

Вопрос: Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными (слайд 8)?

Ответ: (сначала ответов на вопросы не видно, затем они открываются на этом же слайде и выделены красным цветом)

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов (слайды 9 (ответ) и 10 (рисунок)).

Вопрос: Что утверждает лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой (слайд 11)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой (слайд 12 (ответ) и 13 (рисунок)).

Вопрос: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости (слайд 14).

Ответ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости (обозначение a ⊥ a (слайд 15)). Показывается рисунок (слайд 16).

Вопрос: Какая связь между параллельностью параллельных прямых и их перпендикулярностью к плоскости (слайд 17)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости (слайд 18 (ответ) и 19 (рисунок)).

Вопрос: Как формулируется обратная теорема (слайд 20)?

Ответ: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны (слайд 21).

Показывается рисунок (слайд 22).

Представьте телеграфные столбы вдоль дороги. Можно ли утверждать, что столбы перпендикулярны к плоскости дороги (слайды 23, 24, 25)?

Нельзя! Как видно на втором рисунке (вид сбоку), левый и правый столбы даже не параллельны (слайд 26).

Решим задачу № 119.

Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC и точка O является серединой отрезка.AD . Докажите, что а) AB= DB ; б) AB= AC , если OB= OC ; в) OB= OC , если AB= AC (слайд 27).

Решение, (случай а)) (слайд 28). Показывается рисунок (слайд 29). OA ⊥ OBC по условию (слайд 30), тогда OA ⊥ OB по определению перпендикулярности прямой к плоскости (слайд 31). OA= OD по условию задачи, поэтому OB – серединный перпендикуляр к AD и поэтому AB= DB (слайд 32).

Решение, (случай б)) (слайд 33). Показывается рисунок (слайд 34). OA ⊥ OBC по условию (слайд 35), тогд OA ⊥ OC . Если OB = OC , то ΔAOC = ΔAOB (по двум катетам) и AB= AC (слайд 36).

Решение, (случай в)) (слайд 37). Показывается рисунок (слайд 38). Если AB= AC , то ΔAOC = ΔAOB (по катету и гипотенузе) и OB= OC (слайд 39).

Вопрос: Как же проверить, перпендикулярна данная прямая к данной плоскости или нет (слайд 40)? Ответ дает теорема, выражающая признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 41).

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости (слайд 42).

Приводится краткая запись условия теоремы и ее заключения (слайды 43 - 46).

Затем показывается (пошагово) доказательство.

Рассмотрим плоскость a (слайд 47), (показывается плоскость a (слайд 48)) и прямую a , a ⊥ p , a ⊥ q , где (слайд 49) (показывается прямая a (слайд 50)), p и q – прямые, принадлежащие плоскости a , пересекающиеся в точке O (слайд 51). (Показываются прямые p ,q и точка O (слайды 52, 53)).

Пусть m произвольная прямая плоскости a (слайд 54). (Показывается прямая m (слайд 55)). Докажем, что a ⊥ m . Тогда a ⊥ a (по определению) (слайд 56).

Рассмотрим сначала случай, когда прямая a проходит через точку O (слайд 57). (Показывается прямая a (слайд 58)).

Проведем через точку O прямую l , параллельную m (слайд 59). (Показывается прямая m (слайд 60)).

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы OA= OB (слайд 61). (Показываются точки A и B (слайд 62)).

Проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p ,q и l в точках P, Q, L соответственно (слайд 63). (Показывается данная прямая (слайд 64)).

p и q – срединные перпендикуляры к AB . Поэтому AP= BP (слайд 65), (показываются прямые AP и BP (слайд 66)) AQ= BQ (слайд 67), (показываются прямые AQ и BQ (слайд 68))

ΔAPQ = ΔBPQ по трем сторонам (слайд 69). Тогда угол APQ равен углу BPQ (слайд 70).

Проведем отрезки AL и BL (слайд 71). (Показываются отрезки AL и BL (слайд 72)).

ΔAPL = ΔBPL по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AL= BL (слайд 73).

Тогда ΔABL равнобедренный (слайд 74). Его медиана LO является его высотой, то есть l ⊥a (слайд 75). Так как l параллельна m и l ⊥ a , то по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей m ⊥ a (слайд 76).

Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой m плоскости a , то есть m ⊥ a (слайд 77).

Пусть теперь прямая a не проходит через точку O (слайд 78). (Показывается прямая, не проходящая через точку O (слайд 79)).

Проведем через точку O прямую a 1 параллельную a (слайд 80). (Показывается прямая a 1 (слайд 81)).

По лемме a 1 ⊥ p и a 1 ⊥ q , поэтому по доказанному в первом случае a 1 ⊥ a (слайд 82).

Тогда по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости, следует, a ⊥ a (слайд 83).

Пример применения признака перпендикулярности.

Задача 128. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA= MC , MB= MD . Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма (слайд 84). (Показывается рисунок к задаче (слайд 85)).

Решение (слайд 86)

По условию MA= MC и AO= OC по свойству диагоналей параллелограмма (слайд 87). Поэтому MO – медиана равнобедренного треугольника AMC (слайд 88). Следовательно, MO также высота этого треугольника, то есть MO ⊥ AC (слайд 89).

Аналогично доказывается, что MO ⊥ BD (слайд 90).

Так как MO ⊥ AC и MO ⊥ BD , то MO ⊥ ABCD по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 91).

Литература (слайд 93):

1. Till Tantau User Guide to the Beamer Class, Version 3.07. http://latex-beamer.sourceforge.net, September 29, 2011.
2. Till Tantau The Tikz and PGF Packages, Manual for Version 2.10, http://sourceforge.net/projects/pgf, October, 2010.

Ясно, что нельзя проверить перпендикулярность прямой и плоскости, пользуясь непосредственно определением

этого понятия: ведь в нем речь идет о перпендикулярности бесконечного множества пар прямых. Но, оказывается, что для этого достаточно установить перпендикулярность лишь двух пар прямых. Об этом и говорится в следующей теореме.

Теорема 2. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Пояснение: Вот пример: раскройте книгу и поставьте ее на стол (рис. 2.14).

Корешок книги перпендикулярен краям обложки, лежащим на столе, и, тем самым, самому столу. Еще пример. Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы она была перпендикулярна двум прямым, проведенным через ее основание на палубе или на земле. А это можно сделать, натянув из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепив их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 2.15). Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости имеет в своей основе это реальное построение.

Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке О и перпендикулярна двум прямым b и С, проходящим в плоскости а через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через точку О в плоскости а. Возьмем любую такую прямую d, отличную от b и С (рис. 2.16).

Выберем на прямых b и С по точке В и С так, чтобы отрезок ВС пересекал прямую d в какой-то точке D. Возьмем точки и С, ЕС так, чтобы точка О была серединой отрезков и т. е. чтобы и С, были симметричны точкам В и С относительно точки О в плоскости а. Тогда отрезок ВХСХ, симметричный относительно О отрезку ВС, пересечет прямую d в точке симметричной точке D относительно О (докажите!).

В силу симметричности точек точкам В, С, D имеем равенства

Возьмем теперь на прямой а любую точку и соединим ее отрезками АВ, AC, AD, и с точками Так как и то а является серединным перпендикуляром к отрезку . Поэтому . Аналогично . Так как, кроме того, , то т.е. . Кроме этих равных углов, в треугольниках ABD и имеем и . Но тогда и

Тема: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок геометрии в 10 классе

Информационная карта урока

Предмет : Геометрия

Класс: 10 .

Тема: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

Цели урока :

Познакомиться с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и научиться применять его при решении задач стереометрии

Развитие пространственного воображения и логического мышления обучающихся

Воспитание уважительного отношения к мнению окружающих

Форма урока: комбинированный

Структура урока

Организационный момент

Актуализация знаний обучающихся по теме «Перпендикулярность прямых в пространстве. Определение перпендикулярности прямой и плоскости».

Знакомство с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, доказательство теоремы.

Отработка навыков применения признака перпендикулярности прямой и плоскости при решении устных и письменных задач.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

Описание хода урока

Организационный момент урока : приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:

• понятие перпендикулярности прямых в пространстве;

  перпендикулярность прямой и плоскости;

  свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

2.1. С целью актуализации знаний один ученик выходит к доске и записывает решение задачи, вызвавшей наибольшие трудности в домашней работе.

2.2. Пока он готовится, фронтальный опрос класса:

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Как определяется угол между прямыми в пространстве?

Какие прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой.

Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

После выполнения оперативная проверка правильности ответов. Разобрать вопросы, вызвавшие затруднения.

Дополнительные вопросы к №4 и №5:

дайте словесную формулировку свойств параллельных прямых;

дайте словесную формулировку свойств прямых, перпендикулярных плоскости.

2.4. Предложить учащимся устно решить задачу

В более подготовленном классе дополнительно предложить для решения вторую часть задачи с числовыми данными.

2.5. Проверка правильности решения домашней задачи.

3. Изучение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

3.1. Перед изучением непосредственно признака обратить внимание обучающихся на то, что на практике невозможно пользоваться определением перпендикулярности прямой и плоскости, т. к. нельзя проверить перпендикулярность прямой к любой прямой данной плоскости. Облегчить задачу помогает признак.

Объявляется тема урока и основная цель

Записывается тема урока в тетради, домашнее задание.

3.2. Доказательство теоремы (и чертеж) производится поэтапно (слайд 4), записи ученики выполняют в тетради. В более подготовленном классе дается весь план доказательства, каждый пункт доказательства ученики обосновывают самостоятельно, если необходимо, можно пользоваться учебником. В менее подготовленном классе каждый пункт доказательства обсуждается и после этого ученики делают соответствующие записи.

3.3. Тем ученикам, кто быстро справляется с доказательством теоремы, можно дать дополнительное задание на карточках:

«Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов»

В случае быстрого и успешного решения ученик доказывает теорему у доски. Если на уроке второе доказательство не найдено, предложить желающим выполнить его дома

4. Отработка навыков применения теоретических знаний к решению задач.

4.1. С целью первичного закрепления умения применять признак перпендикулярности прямой и плоскости предложить для устного решения задачи 1, 2 и 3 (слайды 6, 7 и 8 соответственно).

В мене подготовленном классе целесообразнее задачу 3 выполнить после письменного решения №127 из учебника.

Слайд 11

5. Подвести итоги урока . В качестве дополнительных вопросов предложить следующие:

кто знает, как можно проверить на практике перпендикулярность прямой и плоскости, какие инструменты для этого существуют (с помощью двух треугольников, с помощью двух уровней);

на сколько существенно, что в признаке перпендикулярности прямой и плоскости, взяты две пересекающиеся прямые?

6. Записать задание на дом (слайд 3, по желанию карточка с дополнительной задачей).